立足特殊化，巧解数学题

许沥　魏海霞　高明

【摘要】特殊化思想是创新思维中一种重要的数学思想，可以起到简化推理，弱化运算，排除选项的作用.本文通过特殊赋值，特殊引路，特殊探究三个方面阐述特殊化思想在数学解题中的应用.

【关键词】 特殊；特殊化；数学题

【基金项目】2014年西华师范大学校级教学改革研究项目，项目编号：403/403299

“特殊寓于一般之中”，利用特殊化的思想解题，可以将问题化繁杂为简单，化困难为容易，化陌生为熟悉，可以起到简化推理，弱化运算，排除选项的作用，有助于数学思维的培养和解题效率的提高.

一、特殊赋值，巧解客观型选择题

特殊赋值的主要形式有变数字母数值化、一般图形“正”规化、特殊数值代入化.在解答客观性试题时，采用特殊赋值可以简化推理和弱化运算，排除错误选项，取得事半功倍、出奇制胜的效果.

例1 不等式m2+（cos2x-5）m+4sin2x≥0对任意实数x恒成立，则m的取值范围是（ ）.

A.0≤m≤4 B.1≤m≤4

C.m≥4或m≤0D.m≥1或m≤0

分析与解答 此题涉及两个参变量且含正、余弦运算，常规解答较为复杂.解题时可以转换思维，通过结论的特征，将m进行赋值，采用特殊数值代入化的方法进行验证.令m=0时，代入验证，满足题意，则可以排除选项B；令m=1时，不满足题意，则可以排除A、D两个选项；故答案应选C.

二、特殊引路，探求一般证题规律

对于某些定点、定值问题，可以从特殊情况入手，通过特殊情况的解题过程所获得的启示，由此探明解题的方向，探求解题思路.

例2 设D是锐角△ABC内部的一点，使得∠ADB=∠ACB+90°，并且AC·BD=AD·BC，试计算比值AB·CDAC·BD.

分析与解答 这是一道定值计算题，通常可以采用特殊化的方法，先探究出结论，以此为基础，寻找解决试题的思路.将△ABC特殊化，考察△ABC为正三角形，则∠ADB=150°，BD=AD， 于是有

AB·CDAC·BD=CDBD=sin∠DBCsin∠DCB=sin45°sin30°=2. 通过特殊化，探究出了AB·CDAC·BD在一般情况下的值应恒为2.

而“2”是一个较为特殊的数，可以看成是等腰直角三角形的斜边与直角边之比.这样通过特殊化探究，为解题提供了方向和解题思路：构造一个等腰直角三角形.因此，构造一个等腰直角△BDE（如图），由AC·BD=AD·BC，BD=DE，∠ADE=∠ADB-90°=∠ACB，可得 DEBC=ADAC，△AED∽△ABC， 得到AEAB=ADAC，又∠EAD=∠BAC，推得∠EAB=∠DAC，于是△AEB∽△ADC，有ABAC=BECD.因此，AB·CDAC·BD=BECD·CDBD=BEBD=2.

三、特殊探究，构建解题思维途径

当题目结论不明确，解题思路不清晰，解题方向不明确时，可将试题条件特殊化，通过“尝试—观察—归纳”的探究过程，为解题提供线索，找到解决问题前进的方向，将隐含信息显性化，内在结构特征外显化，化陌生为熟悉.

例3 若实数x，y满足1+cos2（2x+3y-1）=x2+y2+2（x+1）（1-y）x-y+1，则xy的最小值为.

分析与解答 由于条件是关于x，y的超越方程的形式，等式左边=1+cos2（2x+3y-1）≤2为三角式，右边为分式形式，很难找到解题思路.可将试题条件特殊化，将x视为常量，将y视为变量.

当y=0时，右边=x2+2（x+1）x+1=x+1+1x+1；当y=1时，右边=x2+1x=x+1x；当y=-1时，右边=x2+4（x+1）+1x+2=x+2+1x+2；通过特殊化探究，就将题目当中的隐含信息显性化了，内在特征外显化了，即右边为一个数与这个数的倒数的和的解析式形式，为解题提供线索和方向.

实际上，x2+y2+2（x+1）（1-y）x-y+1=x-y+1+1x-y+1≥2.根据等式成立的条件可得：x-y+1=1， 2x+3y-1=kπk∈Z，得x=y=kπ+15.因此xy的最小值为125.

数学高考、竞赛试题因其内容的广泛性与深刻性，其解答包含着丰富的机智思想.在教学过程中，教师应有意识让学生掌握和运用特殊化的思想，加深对数学方法的理解.只要认真去总结，用心去领悟，就能拓展解题思路，提高解题效率，优化解题技巧.

【参考文献】

[1]田红亮，田戚可人，戚江艳. 一题多解[J]. 佳木斯职业学院学报，2015（11）.

[2]任爱群.一道数学题的多种解法[J]. 中学数学教学参考，2015（21）.