通过变式分析调动高中学生学习数学的积极性

朱贵甫 雷振蕊 王建新 王伟铭 杨校岗

摘要： 一题多解可以使有关知识相互沟通，有利于克服学生解题思路窄，解法单一的缺点，并能使学生的思维处于最佳状态，达到举一反三、融会贯通的目的。一题多变，可以让学生掌握题目的结构和解答规律，使学生在思维的时候，全面、广泛的思考问题。这样的训练，可以让学生分析、解决问题的思路，掌握解题的方法，使掌握知识、运用知识的能力同步提高。

关键词：一题多解;一题多变;变式分析;积极性

优秀学生的数学成绩之所以优秀，很大程度上归功于他们对数学充满激情，对数学产生天然的依赖感与亲切感，学习数学的积极性非常高。但由于高中数学教学模式过于呆板，学生的学习生活过于枯燥，以及高中数学难度的步步加深，学生对数学学习的亲切与依赖被消磨班殆尽，纵使知道学好数学的重要性与迫切性，也往往会因为信心不足而选择将数学拒之门外，该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中效果较好的是引导学生进行一题多解和一题多变的变式分析。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。

一方面，在课堂上通过“一题多解”的方法来吸引学生，充分发挥学生的主观能动性。对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决;其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维;多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。比如在课堂上讲开封市一模中的一道题，已知 的内角，AB=6，AC=4，O为 所在平面上一点，满足OA=OB=OC，设，则.此题我先引导学生用建坐标系的方法做，以线段AC所在的直线为X轴，线段AC边上的高为Y轴建系，得出A，B，C三点的坐标，再利用外心的性质（三条垂直平分线的交点）和两条垂直平分线对应的直线方程求出点O的坐标，进而求出m和n的值。这种方法，不仅让学生知道可以用坐标系法解决向量问题，而且也复习了三角形外心的性质、垂直平分线方程的求法以及直线交点的求法等知识，让学生感觉到这道题的妙处和精髓所在。此时，又有几名学生说了其他求点O的方法，课堂气氛很快就活跃起来了。然后我又引导学生从向量的角度分析这道题，前面我们知道重心的向量公式，有没有一种外心的向量公式？接着，我就引导学生化简此时学生劲头很大，学生很快得出两式一结合可以得出m和n的值。这种方法，不仅让学生记住外心的向量公式，同时也复习了平面向量数量积的几何意义（投影）等知识。又比如另一道题，已知M为正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，且2NB1=NC1，若球O的体积为 ，则动点M的轨迹的长度为。此题答案所给的方法是构造与BN垂直的平面，此平面与球的截面圆即为点M的轨迹。这种方法适合于数学程度特别好、空间想象能力特别强的学生借鉴使用，但优班学生中聪明的其实只占了少数，所以我给他们提供了一种更易理解的方法，采用建立空间直角坐标系的方法用垂直条件表示出点M的轨迹方程，当然它代表的是一个面，然后求出球心到此面的距离，进而求截面圆半径，实践表明学生更能理解这种方法。通过“一题多解”，有相当一部分学生意识到了听课的意义，它不仅可以使学生所学的知识融会贯通，而且还可以开阔学生的思路，培养学生的发散思维和创新思维，从而达到提高学生学习积极性的效果，尤其是优班学生。

另一方面，在课堂上通过“一题多变”的方法来吸引学生，充分发挥学生的主观能动性。我们可以通過很多途径对课本的例、习题进行变式，如：改变条件、改变结论、改变数据或图形;条件引申或结论拓展;条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。通过一题多变、多题归一的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到以一当十，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。比如已知椭圆的右焦点为F1，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A为直线MF2与椭圆C的一个交点，且，离心率为，此题大多数学生依据看出焦点三角形为直角三角形从而解题。我则设，M与A坐标均用c表示，进而A的坐标可以用c与表示，再用这一条件得A的坐标用c表示，然后代入椭圆方程求解。之后我改了一下条件，学生就会发现自己的方法行不通，更加理解课堂的意义，对老师更信任，面对数学也会更有信心。

通过“一题多解、一题多变”变式分析的课堂指导，开阔了学生的思维面，提高学生的知识迁移能力，增强学生的学习信心，学生的学习成绩也得到了大幅度提升。一题多解和一题多变，可以使学生更积极参与到课堂中来，从而激发学生对数学学习的兴趣和信心。