均值-半方差投资组合优化问题的HHO算法求解

倪百秀，朱佩佩，王雪莹，岳 芹

(皖西学院 金融与数学学院，安徽 六安 237012)

1990年诺贝尔经济学奖获得者Markowitz于1952年提出了均值-方差(Mean-Variance, MV)模型[1]，开创了证券组合理论的新纪元，奠定了现代金融投资理论的基础。然而，大量的实证研究结果表明资产收益率具有尖峰厚尾的特性[2]，这与均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布相悖。为了克服均值-方差模型在实际投资组合应用中的局限性，同时考虑到收益率向上方的波动即高于收益平均值的波动为超额收益而收益率向下方波动即低于收益平均值的波动为损失风险，因而Markowitz后来的研究表明半方差比方差更适合度量投资风险，进而构建均值-半方差(Mean - Semivariance, MSV)模型[2,3]。随后，很多学者对均值-半方差投资组合选择问题进行了大量的实证研究，如Pla-Santamaria和Bravo基于道琼斯蓝筹股2005-2009年的日收益率数据构建均值-半方差投资组合优化模型并与均值-方差进行对比，实证研究的结果表明前者很好地刻画了下方风险[4]；Vasant等人用约翰内斯堡证券交易所的2003-2013年间的股票数据进行均值方差和均值半方差模型优化的比较[5]，结果表明半方差的风险度量方式在一定的投资组合规模范围内是有效的，一旦投资组合规模变大，收益将会减少。王性玉和薛桂筠选取54只封闭式证券投资基金2003-2008年的周收盘价数据进行方差与半方差的风险刻画方法的比较研究[6]，其结果表明半方差比方差更加适用于我国这个新兴金融市场的风险刻画。

尽管诸多的实证研究结果更倾向于用半方差来刻画投资组合的风险，但均值-半方差模型不再是二次规划模型，其半方差目标函数是不可微的，因而经典的基于梯度的优化算法不再适用，其模型求解存在很大的困难。Markowitz等提出一种临界线性算法[3]，进而获得其有效前沿；Ballestero借助于启发式搜索算法实现均值-半方差模型的求解[7]，并与均值-方差模型进行比较研究；Estrada提出一种启发式搜索算法来求解均值-半方差模型[8]，其求解精度较高；Huang构建了均值-半方差模糊投资组合选择模型[9]，借助遗传算法求解模型效果很好。

近年来，随着智能算法理论和应用的蓬勃发展，其在复杂的投资组合优化问题求解方面取得了丰硕的研究成果[10-14]。哈里斯鹰优化算法(HHO)是由Heidari等人于2019年通过模仿美洲最典型的猛禽哈里斯鹰的种群捕食策略而建立数学模型进而构造出一种新型仿生群智能算法[15]，并成功应用于函数优化[15-16]、图像分割以及工程优化等问题[17-18]。本文拟探寻用HHO算法来求解均值-半方差投资组合优化模型，并通过实证研究来与均值-方差模型进行对比以检验半方差的风险度量方式的有效性。

一、问题描述与数学模型

(一)均值-方差模型

(二)均值-半方差模型

文献[19]给出了资产i和资产j的收益率间的半协方差的定义如下：

(5)

(6)

因此，用投资组合收益的半方差来代替方差，即可得到均值-半方差投资组合优化模型如下：

式(7)—(10)所描述的均值-半方差投资组合模型已不再是二次规划问题，其中式(7)所描述的目标函数是不可微的，因而经典的基于梯度的优化算法已不再适用于该模型的求解。文献[8]构建了一种启发式搜索算法实现求解，文献[20]采用遗传算法进行求解，均取得不错的效果。本文探寻用新型的仿生群智能算法HHO来求解该模型。

二、哈里斯鹰优化算法

(一)HHO算法描述

Heidari等人于2019年模拟哈里斯鹰种群捕食策略而构造出一种新型群智能仿生优化算法——哈里斯鹰优化算法[15]。该算法通过模拟北美的哈里斯鹰群搜寻、追踪猎物的过程以及丰富多变的攻击策略构建数学模型，进而形成一种无梯度优化算法用于求解各种优化问题。其构建过程简述如下[15]：

1.勘探阶段

考虑由N只哈里斯鹰组成的鹰群，设在时刻t鹰群中第i只鹰随机栖息在位置Xi(t)，其基于以下两种策略保持长时间等待、观察和监视地面区域以发现野兔等猎物，即下一时刻其所在位置为：

(11)

其中Xrabbit(t)表示时刻t野兔的位置，Xrand(t)为从鹰群中随机选择一只鹰的位置，r1,r2,r3,r4和q均为(0,1)中的随机数，且在每一步迭代中均进行更新，LB和UB为搜索空间的下界和上界向量，Xm(t)表示时刻t时鹰群位置向量的平均值，即“中心位置”，其计算式如下：

(12)

2.转换机制

在HHO算法中，哈里斯鹰通过对野兔的逃逸能量的判断结果来实现勘探和开发两种搜索机制的转换。时刻t野兔的逃逸能量E(t)定义如下：

(13)

其中E0∈(-1,1)为野兔的初始逃逸能量，T为最大迭代次数。当E(t)≥1时哈里斯鹰开启勘探模式，即在较大范围内搜索野兔；当E(t)<1时，其采用开发模式，即在较小区域内搜索野兔。

3.开发阶段

在HHO算法的开发阶段，基于野兔所处形势下成功逃逸的机会r和逃逸能量E(t)的大小，设计出四种局部搜索策略：

(1)软包围策略

当r≥0.5且|E(t)|≥0.5时，第i只鹰的位置更新如下：

(14)

其中ΔXi(t)=Xrabbit(t)-Xi(t)是野兔与鹰的位置向量之差，J=2(1-r5)表示野兔逃逸过程中随机跳的强度，在每次迭代中通过生成随机数r5∈(0,1)来随机改变其值。

(2)硬包围策略

当r≥0.5且|E(t)|<0.5时，第i只鹰的位置更新如下：

(15)

其中ΔXi(t)的定义如前。

(3)软包围+渐进式快速俯冲策略

当r<0.5且|E(t)|≥0.5时，第i只鹰的位置更新如下：

(16)

其中f为适应度函数，Y和Z的定义如下：

其中D是问题的维度，S是D维随机行向量，算子LF(·)为执行Lévy飞行操作，定义如下：

(19)

其中u和v均是(0,1)内的随机数，β是常数，且通常设为1.5。

(4)硬包围+渐进式快速俯冲策略

当r<0.5且|E(t)|<0.5时，第i只鹰的位置更新如下：

(20)

其中f和Z的定义同前，Y的定义如下：

(21)

(二)HHO算法步骤

HHO算法步骤概括如下：

Step 1 初始化基本参数：鹰群规模N和最大迭代次数T。

Step 2 为每只鹰随机生成初始位置Xi(0),i=1,2,…,N。

Step 3 计算每只鹰的适应度值，将其最优值对应的位置设为野兔的位置。

Step 4 按式(13)更新野兔的逃逸能量E(t)，并根据其值来决定执行Step5或Step6。

Step 5 执行勘探搜索模式，按式(11)更新鹰的位置。

Step 6 执行开采搜索模式，根据成功逃逸的机会r和逃逸能量E(t)的值来决定执行其搜索策略，更新鹰的位置。

Step 7 重复Step3—6直到达到最大迭代次数，输出野兔的位置(最优解)和其适应度值(最优值)。

三、哈里斯鹰优化算法求解均值-半方差模型的算法架构

(一)个体构成

鹰群中的每一只哈里斯鹰的位置向量X=(x1,x2,…,xn)代表一个投资组合的策略，其第i维分量xi表示该投资组合中持有第i种资产的资金比例，即该资产在投资组合中所占权重。

(二)适应度函数的表示

按照前文式(7)所描述的均值-半方差投资组合优化模型的目标函数，可得HHO算法求解均值-半方差投资组合优化问题时用于评价个体优劣的适应度函数可定义如下：

(22)

(三)约束的处理

利用拉格朗日乘子法将该约束加入到目标函数，得到新的适应度函数如下：

(23)

其中非常大的正数M为惩罚因子，本文设为1000，[x]+=max{x,0}。

2)约束和非负约束：0≤xi≤1,i=1,2,…,n

通过设置变量的取值区间为[0,1]和迭代过程中执行变量边界检测来实现。

四、实证研究

(一)样本数据的选取与统计特征

本文选取上海证券交易所十只不同行业的股票构造投资组合进行实证研究，数据时间期限为2009年1月1日到2019年12月31日。十只股票分别为中国石化(600028)、中信证券(600030)、招商银行(600036)、中国联通(600050)、上汽集团(600104)、东方航空(600115)、兖州煤业(600188)、贵州茅台(600519)、山东黄金(600547)和中国平安(601318)，利用雅虎财经获得574周收盘价数据，采用对数收益率，如下图1给出十只股票的价格变化趋势。

图1 中国石化等十个资产2009—2019年的周收盘价数据

所选十个资产的周收益率数据基本统计特征如表1所示，并采用Jarque-Bera检验法对其周收益率是否服从正态分布进行检验，其J-B值和P值的结果如表1所示。

表1 10个资产的周收益率的基本统计特征和J-B检验结果

表1显示十只股票周收益率样本数据的峰度值最小者为3.9458，大于3(正态分布的峰度值)，其最大者高达13.7184，表现为尖峰性，不同于正态分布；同时其偏度(Skewness)值均不等于零，具有偏态，有异于正态分布的对称性；Jarque-Bera检验的结果表明十只股票的周收益率均在99%的置信水平下拒绝正态分布的假设。图2描绘出招商银行、中国平安、山东黄金和东方航空等四只股票周收益率的正态分布检验Q-Q图，较为清晰地显示这些股票周收益率样本数据并不服从正态分布。

图2 招商银行等四个资产的周收益率样本数据的Q-Q图

(二)实验设置

为了便于对比HHO算法求解均值-半方差投资组合优化模型的有效性本文选用经典的智能算法——遗传算法(GA)和粒子群优化算法(PSO)进行算法对比，同时为了验证半方差风险度量方式的在实际投资组合中的应用效果，设定31个不同的收益水平，将其最优投资组合对应的有效前沿与经典的均值-方差投资组合优化模型的有效前沿进行对比。HHO、GA和PSO三种算法的种群规模均为40，最大迭代次数为500，其他参数设置同文献[15]。

(三)结果与分析

本文分别用HHO、GA和PSO三种算法对所构建的MSV模型进行求解，得到31个不同收益水平下投资组合的风险值和最优投资比例。表2给出了三种算法所得到的风险值，其中三种算法求得的结果中最优者以“黑体”标识。从表2可以看出，在31个不同收益水平下，HHO算法有26次为最优，GA有3次，PSO有7次，其中包含并列最优。从31个不同收益水平对应的投资组合收益的风险平均值也清晰地显示HHO算法所得到的平均风险最小。三种智能算法求解MSV模型的结果表明HHO算法求解精度最高，所获得的最优投资组合所承受的风险最低，其次是GA，最差的是PSO。这表明HHO算法求解MSV模型是可行和有效的。

图3描绘出HHO、GA和PSO三种算法求解MSV模型所得到的有效前沿。从图3可以看出，HHO算法所得到的投资组合的有效前沿更加靠近左上方，表明在满足相同收益水平下，HHO算法求得的最优投资组合所承受的风险更低，同时在相同风险承受能力的情况下，其所获得收益更高。同时，从图中也可以看出HHO算法较为稳定，而PSO算法求解MSV模型的结果波动性较大。

图3 三种算法求解得到的有效前沿对比

表3给出了其中7个不同收益水平下的最优投资比例。从表3可以看出三种算法所得的最优投资组合比例存在一定的差异，在资产选择上差异不大，但在投资比例上差异较为明显，这表明三种智能算法的寻优精度上的差异较大，进而表明HHO算法的求解精度较高。

表2 三种算法求解MSV模型所得最优投资组合的风险值

表3 不同收益水平下三种算法所得最优投资比例对比

此外，本文对半方差风险度量方式的有效性也进行了探究，利用Matlab软件中的金融优化工具箱得到31个不同收益水平下的MV模型的最优投资组合比例，计算出这些组合收益的半方差，进而描绘出其有效前沿，并与MSV模型得到的有效前沿进行对比如图4所示。从图4可以看出，MSV模型所得到的最优投资组合在相同的收益水平下，其承担的风险更低，这也进一步佐证了这些股票收益率样本数据不服从正态分布，从而表明用半方差来刻画投资组合收益的风险更为准确和有效。

图4MV和MSV模型所得到的有效前沿对比

五、结论

本文针对均值-半方差投资组合优化模型难以用经典优化方法进行求解的问题，探寻用哈里斯鹰优化算法来实现对其求解，合理地设置了个体构成、构造了适应度函数和有效地处理了约束条件，并与经典的遗传算法和粒子群优化算法进行对比，实证结果表明哈里斯鹰优化算法能够高效地求解均值-半方差投资组合优化问题，求解精度较高，取得了很好的实际应用效果。同时，本文的实证研究也表明半方差风险度量方式能够很好地刻画投资组合的风险，对风险的控制更为精准，进而表明均值-半方差投资组合优化模型更为合理。