截口椭圆离心率问题的探究
2020-09-10康琳
摘 要:“圆锥曲线与方程”是在圆与立体几何之后学习,教材中简明扼要地介绍了圆锥曲线的由来.圆锥曲线的离心率问题一直是高考中的热点,而求椭圆的离心率又是最常考的内容,本文就一道求平面截圆锥形成的椭圆的离心率进行探究,以期找到求圆锥曲线离心率的一般规律.
关键词:椭圆;离心率;圆锥截面
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2020)34-0068-02
收稿日期:2020-09-05
作者简介:康琳(1979.10-),女,四川省南充人,本科,中学一级教师,从事高中数学教学研究.
题目 设圆锥的轴截面是一个正三角形,用一个与圆锥底面成30°夹角的平面去截圆锥,所得截口曲线是椭圆,则该椭圆的离心率为.
思路1 确定椭圆上特殊点的坐标
如图1,不妨令正△ABC边长43,重心G,椭圆中心N,中线BD,底面圆心M.PG与长轴垂直. BG=4,GD=2,则NG=1.PG为过G与底面平行的圆的半径.如图2在△AMC,作GE∥MC,由相似易得GE=433,所以PG=433.如图3,即P(1,433),代入方程x2a2+y2b2=1,又2a=6,解得b2=6,e=33.
思路2 椭圆短轴所在的圆截面上利用勾股定理计算短半轴长
如图4,不妨令正△ABC边长43,重心G,底面圆心M.椭圆中心N,过N作底面的平行平面,得⊙O.椭圆N与⊙O交线PQ即为短轴长2b.如图5,在圆锥的轴截面正△ABC中,易得NG=1.Rt△NGO中,GO=12,作OF∥MC,由相似易得OF=PO=332.如图6,在⊙O的Rt△PON中,由勾股定理易得PN=b=6,e=33.
思路3 构造三角形,利用相似计算短半轴长如图7,不妨令正△ABC边长43,椭圆中心N,底面圆心M,NE为椭圆的短半轴,连接AN并延长交BC于点P,连接AE并延长交底面于点F.如图8,在圆锥的轴截面正△ABC中,NO⊥AM,由△APM~△ANO,
AN∶AP=AO∶AM=3∶4,PM=233.由底面半径23易得PF=463,故NE=b=6,e=33.
思路4 构造直角三角形,利用勾股定理计算短半轴长.
如图9,不妨令正△ABC边长43,重心G,底面圆心M.椭圆中心N,过N作底面的平行平面,得⊙O.椭圆N与⊙O交线PQ即为短轴长2b.同思路2得AO=332,NO=32.在Rt△AON中,由勾股定理易得AN=21,在Rt△AOP中,⊙O的半径OP=332,由勾股定理易得AP=1082.又因为Rt△APQ是等腰三角形,所以在Rt△ANP中, PN=b=6,e=33.
思路5 利用Dandelin球与截面、侧面相切,切点为焦点
如图10,圆锥上部球O1与椭圆截面、圆锥侧面相切,如图11,轴截面△ABD的内切圆O1,与三边的切点分别为M,N,F,其中F是椭圆的右焦点. 不妨令正△ABC边长43,则AB=43,AD=23,BD=BF+DF=6=2a,又BF-DF=BN-DM=AB-AD=23=2c,所以e=33.
点评 以上五种思路都充分利用了特殊的几何关系,特别是条件里的正三角形使计算比较容易,如果将题目中轴截面改为等腰三角形(非正三角形),夹角非特殊角度时,几何关系的不明确将增加运算难度,甚至运算难以进行,于是产生了对这道题的进一步探究.
结论 平面截圆锥所得截口曲线——椭圆的离心率e=cosαcosβ,其中截面与底面夹角的余角为α,圆锥母线与轴夹角为β,如图12.
证明 如图13,A1A2为椭圆的长轴,圆锥上部球O1与椭圆截面、圆锥侧面相切,轴截面的内切圆O1,半径为r,与A1A2切点为椭圆的右焦点F.设∠O1A1F=θ,∠O1A2F=φ,易得θ=α-β2①,φ=π-(α+β)2②.A1F=a+c=rtanθ ③,A2F=a-c=rtanφ④.由③÷④得,a+ca-c=tanφtanθ=1+e1-e,解得e=tanφ-tanθtanφ+tanθ=sin(φ-θ)sin(φ+θ),
聯立方程①②,解得φ+θ=π2-β,φ-θ=π2-α,所以e=sin(π2-α)sin(π2-β)=cosαcosβ.
思路6 e=cosαcosβ=cosπ3cosπ6=33.
点评用此公式求截口曲线——椭圆的离心率不仅快捷,而且更具有普适性.
推广 平面截圆锥形成的三种截口圆锥曲线均可以利用公式e=cosαcosβ求离心率.
若α>β,cosα<cosβ,e=cosαcosβ∈(0,1),则截口曲线为椭圆.
若α<β,cosα>cosβ,e=cosαcosβ∈(1,+∞),则截口曲线为双曲线.
若α=β,cosα=cosβ,e=cosαcosβ=1,则截口曲线为抛物线.
小结 本文的题目以“截面椭圆”为载体,既考查了学生直观想象的核心素养,也考查了数学抽象的核心素养,在这个过程中,还需要学生具备较强的逻辑推理能力和数学运算的能力;就这个题目而言,以上多种思路需要用到数形结合的思想,化归及转化的思想.同时也揭示了平面解析几何的本质思想—几何问题代数化.这强调了知识的交叉,渗透和综合,因此,这个题目的综合性较强,是立体几何与平面解析几何综合考查的典范,极具探究意义.
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[责任编辑:李 璟]