探究一道高考填空题的11种解法

李昌成 苟芳兰

摘 要：很多高考题看起来很平常，平淡无奇，这只是是表象.深入研究才能发现其丰富的内涵.把这类试题作为教学素材，既能巩固基础知识，又能锻炼学生思维，提升解题能力.高三复习研究这类试题，比刷题应考效果好得多.

关键词：高考题;椭圆;多视角

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0052-03

收稿日期：2020-09-05

作者简介：李昌成（1977-），男，四川省资阳人，本科，中学正高级教师，从事高中数学教学研究.

苟芳兰（1978-），女，甘肃省武山人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

一、试题呈现

（2019年全国高考数学Ⅲ卷理科第15题）设F1，F2是椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为.

二、总体分析

如图1，要求已知椭圆上一点M的坐标，我们必须理清题意，准确把握信息，并

找到信息之间的关联.由椭圆方程知2a=12，2c=8，F1（-4，0），F2（4，0）.因为△MF1F2是等腰三角形，结合椭圆的轴对称性知F1M=F1F2=8.进而由椭圆的定义知MF2=2a-MF1=4.也就是说，△MF1F2的三边均已知.那么本题可以通过等积法求解;也可以借助正余弦定理解题;还可以直接求交点.研究发现，本题入口宽阔，思路灵活，是巩固基础知识，训练思维，提高综合解题能力的良好素材.

三、解答试题

1.利用等积法求解

分析 用等积法求点M的坐标的关键在于用不同的方法，两次表示△MF1F2的面积.一次必须表示为12F1F2·yM.第二次面积表示方式就很灵活，可以从代数角度入手;也可以从几何的角度考虑;还可以利用数形结合来突破难点.

解法1 设MF2的中点为D，连接DF1.因为F1F2=F1M，所以DF1⊥MF2.于是DF1=F1F22-DF22=82-22=215.

所以S△MF1F2=12MF2·DF1=12F1F2·yM.

因此8yM=4×215，解得yM=15.①

将①代入x236+y220=1解得x=3（舍去负值）.

所以M的坐标为（3，15）.

解法2 设∠F1MF2=θ.在△MF1F2中，cosθ=MF12+MF22-F1F222MF1MF2，

于是cosθ=82+42-822·8·4=14.由万能公式得1-tan2θ21+tan2θ2=14，解得tanθ2=155（舍去负值）.由焦点三角形面积公式得S△MF1F2=b2tanθ2=12F1F2·yM.

所以20×155=4×yM，解得yM=15.下同解法1.

解法3  结合解法2，cosθ=14，那么sinθ=1-sin2θ=1-（14）2=154.

于是S△MF1F2=12MF1MF2sinθ=12F1F2·yM.所以8×4×154=8yM，解得yM=15.以下同解法1.

解法4 由海倫公式得S△MF1F2=p（p-a）（p-b）（p-c）（其中a，b，c是三角形的三边，p是三角形周长的一半）.本题中不妨设a=8，b=8，c=4，易得p=10，p-a=2，p-b=2，p-c=6.所以10×2×2×6=12×8yM，解得yM=15.以下同解法1.

评注 以上四种解法分别从最常见的三角形面积公式S=12底×高、焦点三角形特殊面积公式S=b2tanθ2、正弦面积公式、海伦公式出发，综合运用相关数学知识完成解答.每种方法都是切实可行的，体现了基础知识的重要性，模块之间的相通性.海伦公式在必修三《算法初步》一章习题中介绍的，有同学认为不重要，但用它解答本题尤显便捷.三角函数在其他解法中也起到了重要的辅助作用.

2.借助三角函数解题

分析 在直角三角形中定义了三角函数，此定义与角终边上的点的坐标紧密相关.已知三边利用余弦定理能够求得三角形的任一内角的余弦值，二者结合起来，问题可以得到解决.本问题中，点M又在第一象限，就更容易处理了.

解法5 如图1，过点M作ME⊥F1F2于点E.因为F1F2=F1M，结合解法2得，cos∠MF2F1=cosθ=14.

又MF2=4，所以在Rt△MEF2中，EF2=MF2cosθ=4×14=1.

由已知椭圆方程知OF2=4，

所以OE=3.

即xE=xM=3.②

将②代入x236+y220=1，解得yM=15（舍去负值）.

所以M的坐标为（3，15）.

解法6 如图1，在△MF1F2中，结合解法2，∠MF1F2=π-2θ.

所以cos∠MF1F2=cos（π-2θ）=-cos2θ=1-2cos2θ=1-2（14）2=78.

于是在Rt△MEF1中，F1E=F1Mcos∠MF1F2=8×78=7.

所以OE=F1E-F1O=7-4=3.

以下同解法5.

评注 以上两种方法恰当利用了直角三角形与平面上点的坐标之间的关系，解题中三角函数提供了有力的支撑.二倍角公式的应用能感受到命题专家的良苦用心，把学生对知识的应用能力考查得悄无声息，酣畅淋漓.这两种解法都避开了解析几何的繁杂运算.

3.直接求交点

分析 本题中已有直线和椭圆，我们还可以发掘出相关的圆，利用直线与直线、直线与椭圆、椭圆与圆求交点也能顺利地完成解答.求交点是解析几何的基本知识，人人皆知，但是在高考的关键时候，脑海里一直在翻腾那些高大上的特殊技巧，而可能忽视这些通解通法.

解法7 结合解法6知cos∠MF1F2=78 ，所以sin∠MF1F2=1-（78）2=158，于是tan∠MF1F2=sin∠MF1F2cos∠MF1F2=15878=157.

所以直线MF1的方程为y=157（x+4）.③

同理，直线MF2的方程为y=-15（x-4）.④

如图1，点M可以看作是直线MF1与直线MF2的交点.

由③④联立解得x=3，y=15.

所以M的坐标为（3，15）.

解法8 如图1，点M也可以看作是直线MF1与椭圆C的交点.

结合解法7，联立直线MF1和椭圆C的方程，即y=157（x+4），x236+y220=1，

解得x=3，y=15.

所以M的坐标为（3，15）.

解法9 如图1，点M还可以看作是直线MF2与椭圆C的交点.

结合解法7，联立直线MF2和椭圆C的方程，即y=-15（x-4），x236+y220=1，

解得x=3，y=15.（舍去负值）

所以M的坐標为（3，15）.

解法10 以点F1（-4，0）为圆心，以MF1=8为半径的圆：（x+4）2+y2=64与椭圆：x236+y220=1在第一象限的交点也是点M.

所以由（x+4）2+y2=64，x236+y220=1，

解得x=3，y=15.（舍去负值）

所以M的坐标为（3，15）.

解法11 以点F2（4，0）为圆心，以MF2=4为半径的圆：（x+4）2+y2=64与椭圆：x236+y220=1在第一象限的交点也是点M.

所以由（x-4）2+y2=16，x236+y220=1，

解得x=3，y=15.（舍去负值）

所以M的坐标为（3，15）.

评注 以上五种解法利用解析几何的基本方法，联立直线与直线，或直线与曲线，或曲线与曲线求交点，思路简捷.这一题把解析几何中的直线、圆、椭圆等主干知识进行了全面的考查.在平时教学只要注意这些基本功的训练，学生应该可以掌握，并形成知识技能.本题中直线方程需要自己建立，圆需要想象构造，再建立其方程.这些就是能力的体现.每种解法都是创新思维的产物，近年来高考特别强调创新，我们平时训练要打破惯性思维的束缚.

四、解后反思

本题不是一道难题，但是一道好题.对学生的能力考查得淋漓尽致.不同层次的学生投入不同的时间都能解出来，代价不同而已.命题专家给学生留了很多入口，代数方向的，几何方向的，二者结合的，用相应的知识都能作答，以达到考查的学生知识技能目的.这启发我们在高考复习过程中，务必把基础知识扎牢，基本功训练到位，知识间的关系理顺.提倡常规题型创新解答，培养学生创新思维.注重一题多解，在比较中发现最优解法，为正式考试赢得时间.平时教学应注重知识的生成过程，这样有利于知识的融会贯通，形成发散思维.还应注意归纳总结，每类问题有哪些处理的方法做到胸有成竹，防止在一棵树上吊死.正如本题，三角形面积求法，交点的求法等等都不是一次性习得的，所以要抓住一些机会好好总结，而不是翻来覆去地刷题，形成思维定势，练百个陈题不会做一个新题.小题大做，小题巧做，对提升大题的应试能力也是大有裨益的.

参考文献：

[1]任志鸿.十年高考数学（2019版）[M].北京：知识出版社，2019：117.

[责任编辑：李 璟]