观数列命题方向 做引航科学备考

摘 要：数列是高考试题中最常考的知识点，本文通过列举具体实例，深度剖析了数列的各个考点，并对各考点的解题方法进行了深度研究.

关键词：等差数列;命题趋势;科学备考;数学文化

中圖分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0043-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：余荣华（1981.1-），男，江西省奉新人，学士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

数列的的考查是高考的必考点，也是热点内容，考查类型涵盖选择、填空及解答题.在复习备考时应熟练掌握并运用等差数列与等比数列的基本公式和重要性质.只有这样才能做到知彼知己，百战百胜.本文主要就数列问题展开讨论，通过例题展示，对各类考题破题方法进行总结，望能够给读者带来帮助.

一、数列的基本运算

例1 （2019重庆期中）设Sn为等差数列an的前n项和，若a3+a7=10，S7=14，则数列an的公差为（  ）.

A.1    B.2    C.3    D.4

解析 设数列an的公差为d，因为a3+a7=10，S7=14，所以2a1+8d=10，7a1+7×62d=14，联立解得a1=-7，d=3.，故选C.

点评 等差数列的基本运算方法

（1）等差数列的某一项可以根据首项a1和公差d来确定，因此等差数列的基本量问题可以围绕着首项和公差来展开.

（2）对于等差数列问题，一般题目中会给出两个以上条件，则可以利用方程思想，建立方程进行破解.

二、数列的性质

例2 （2019·四川广元模拟）已知等比数列an中，a3=2，a4a6=16，则a9-a11a5-a7=（  ）.

A.2   B.4   C.8   D.16

解析 设等比数列an的公比为q，因为a3=2，a4a6=16，所以a1q2=2，a21q8=16，解得q4=4，则a9-a11a5-a7=a9（1-q2）a5（1-q2）=q4=4.

点评 对于数列的性质问题，要做到熟记数列中相关的通项公式和前n项和公式，熟练掌握等差或等比数列的性质，另外还需要注意题目中的隐含条件，如“递增数列”、“各项均为正”.

三、数列的证明

例3 （2019广西省南宁市第二次适应性考试）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an+1=Sn+n+1（n=1，2，3，…），a1=1.

（1）求证：{an+1}为等比数列;

（2）数列an中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由.

解析 （1）证明：

因为an+1=Sn+n+1（n=1，2，3，…），①

所以an=Sn-1+n（n≥2）.②

因为an=Sn-Sn-1（n≥2），所以①-②可得an+1-an=an+1，即an+1=2an+1.凑成an+1+1=2（an+1），

化为an+1+1an+1=2，故{an+1}为等比数列.

（2）不存在.

理由如下：由（2）得an=2n-1.

假设能得到一个等差数列，不妨设满足条件的3项为ar，as，at，则2·（2s-1）=2r-1+2t-1，即2s+1=2r+2t.所以2r-s-1+2t-s-1=1，因为an是递增数列，则r-s-1≥0，t-s-1≥0中必有一个成立.则2r-s-1+2t-s-1>1与2r-s-1+2t-s-1=1矛盾，所以数列an中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列.

点评 等比数列的判定与证明

①定义法：

验证：anan-1=q（n≥2且n∈N*）或an+1an=q（n∈N*）（q为非零常数）.

②中项法：

验证：a2n=an+1an-1（an≠0）（n≥2且n∈N*）或a2n+1=an·an+2（n∈N*）.

③通项公式法：

验证：an=abn（a≠0，b≠0）.

④前n项和公式法：

验证：Sn=a·bn-a（a≠0，b≠0，b≠1）.

四、数列的求和问题

例4 （2019广东一模）已知公差不为零的等差数列an满足a1=5且a3，a6，a11成等比数列.

（1）求数列an的通项公式;

（2）设bn=an·3n-1，求数列bn的前n项和Sn.

解析 （1）设等差数列an的公差为d，因为a3，a6，a11成等比数列，

所以a26=a3a11，即（a1+5d）2=（a1+2d）（a1+10d）.化简得：5d-2a1=0.又a1=5，所以d=2，从而an=2n+3.

（2）因为bn=（2n+3）·3n-1.所以Sn=5×30+7×31+9×32+…+（2n+1）·3n-2+（2n+3）·3n-1.所以3Sn=5×31+7×32+9×33+…+（2n+1）·3n-1+（2n+3）·3n以上两个等式相减，得

-2Sn=5+2×（31+32+…+3n-1）-（2n+3）·3n=5+2×3×（3n-1-1）2-（2n+3）·3n.

化简得：Sn=（n+1）3n-1.

点评 用错位相减法求和的3个注意事项

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形;

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;

（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

五、数列的综合问题

例5 （2019·江西宜春期末）已知函数f（x）=x+12，x≤12，2x-1，12<x<1，x-1，x≥1，若数列an满足a1=73，an+1=f（an）（n∈N*），则a2019=（  ）.

A.73   B.43   C.56&nbsp;  D.13

解析 因为函数f（x）=x+12，x≤12，2x-1，12<x<1，x-1，x≥1，数列an满足a1=73，an+1=f（an），则a2=a1-1=43，a3=a2-1=13，a4=a3+12=56，a5=2a4-1=23，a6=2a5-1=13，a7=a6+12=56，則数列an满足an+3=an（n≥3），即数列an从第三项开始，组成周期为3的数列，则a2019=a3+2016=a3=13.

点评 数列作为一类特殊的函数，其定义域是正整数而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点.若题中已知函数条件解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;若已知数列条件解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的有关公式与求和技巧等.

六、数列中的数学文化

例6 朱世杰是中国历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（  ）.

A.9   B.16   C.18   D.20

解析 根据题意设每天派出的人数组成数列an，分析可得数列an是首项a1=64，公差d=7的等差数列，设1864人全部派遣到位需要的天数为n，则64n+n（n-1）2×7=1864，即n2+15n-496=0，由n为正整数，解得n=16，故选B.

点评 对于等差数列中的数学文化问题，首先要能够将题目中所给的数学文化问题转化为等差数列问题，再根据等差数列知识进行求解.另外，该类试题除直接给出古代数学文化问题进行命题的形式外，有时还会以古代数学思想为载体进行命题（如：以格点问题为背景）或根据世界名题进行命题（如：哥德巴赫猜想，角谷猜想，四色定理）.

参考文献：

[1]曹金停.探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].数学学习与研究，2016（15）：103.

[2]曹辉.高中数学数列试题的解题方法与技巧研究[J].数理化解题研究，2015（19）：2.

[3]鲍道斌.高中数学数列题的解题技巧探究[J].数学学习与研究，2019（08）：105.

[责任编辑：李 璟]