接纳理解重于训练运用

摘  要：从学生不能画出过定点的斜率确定的直线的现象入手，分析问题在于概念理解仅停留在浅层次、教学情境问题泛化、缺少数学抽象的活动载体和数学表征形式单一. 提出在章起始课教学中建构恰当的概念语境情境、合理创设情境激发学习心向促进概念接纳、通过活动拉长进程减缓坡度、以多样化的概念表征建立概念图式等改进教学的途径，得出“章节起始课因涉及核心概念生成、思维方式转变和思想方法的萌生，故接纳理解应重于运算训练”的结论.

关键词：直线斜率;接纳理解;教学思考

一、问题的提出

近日听了“直线的斜率”研讨课，教学过程大致如下：教师先以苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学2（必修）》（以下统称“教材”）章头图为情境，在引言中明确解析几何的研究对象、方法、策略，然后提出核心问题：如何建立直线的方程？如何利用方程研究直线的性质？接下来是直线斜率的教学，以台阶坡度的定量刻画作为概念原型抽象斜率的概念和斜率公式，然后以计算运用等手段强化对概念和公式的理解. 从教学时间分配来看，介绍解析几何研究对象、方法、策略等引言内容用时约4分钟，直线斜率概念抽象和得到斜率公式用时约14分钟，例题评讲训练用时约20分钟;从课堂即时效果来看，学生能顺利完成由点的坐标计算直线的斜率，但面对“依据斜率数值画过定点的直线，如过点[3，2]画直线，使其斜率为[3/4]”的问题时无从下手. 虽然经过教师提示，把点[3，2]向右平移4个单位再向上平移3个单位得到的点[7，5]在直线上，但是仍有学生追问“斜率为何变成了平移”. 出现该现象的原因何在？教学中如何改进？引起笔者的思考.

二、问题的分析

1. 学生的概念理解水平仅停留在记忆性理解

根据相关研究，数学概念的理解分为三个不同水平：记忆性理解，解释性理解，探究性理解. 记忆性理解是指能够记忆概念的定义、符号等，在应用概念方面是标准情境中的简单套用，或是按照示例进行机械的模仿;解释性理解是指能够掌握概念的来龙去脉，能用自己的语言或换一种形式正确地表达概念，在应用知识方面是从一定范围的变式情境中区别出概念的本质属性与非本质属性，或把变式灵活转换为标准式，以便解决数学问题;探究性理解是指能够从实际问题中抽象出数学概念或进行归纳假设，探索新概念，在应用概念方面是在相当开放的变式情境中对已有数学概念的扩展. 由斜率数值画直线，概念理解应达到解释性理解的层次，需要将具体数值进行逻辑和形式上的运演，运用相关的表征形式将其转化为熟悉的结构和形式. 课堂上，学生将斜率转化为关于动点坐标[x2，y2]的方程[y2-2x2-3=34]，但是无法求出不定方程的解，画不出直线. 若能转化为其他形式，也许就能顺利求解.

2. 教学设置的问题情境不足以唤醒学习心向

在概念逻辑体系中，斜率是章节的核心概念，直线的方程是斜率的“下位概念”. 章头图的情境是围绕“如何建立直线的方程”而设置的，与斜率的概念在逻辑关系上有一定的距离，以此作为问题情境则显得泛化，不能唤醒学习心向. 依据学生的数学现实，从平面几何的视角，两条直线的倾斜程度在图形上“一目了然”，为何还要“另起炉灶”定量刻画？这是学生的疑惑. 教学时若以此为切入点，用具体问题将此疑虑显现放大，可以引发学生学习心向，当疑虑消失后，学生对平面解析几何涉及的思维视角和研究方法也就有了感性认知.

3. 数学抽象缺少载体致使思维进程快、坡度大

通过引言的教学，学生虽然能感知量化倾斜程度与建立直线方程有关联，但这种关联的逻辑性尚不清楚，所以不能自然接纳对倾斜程度的量化. 如果有如下认知的铺垫：延伸方向是直线的本质属性，倾斜程度是延伸方向的直观表达，斜率是延伸方向的量化表达. 学生便能自然地从代数角度理解斜率是直线本质属性的数量表示，与图形直观是一体两面，促进关于直线整体认知的形成. 这既需要学生经历相应的数学抽象过程，又需要教师设置相应的数学抽象活动. 教学中，可以基于直线是质点做直线运动的轨迹这一认知基础，引导学生从变化中的不变量和不变关系抽象直线的本质属性，在活动中拉长思维进程、减缓思维坡度，促进理解的形成和深化.

4. 概念表征形式单一，不能建立联系形成網络

斜率表达的是直线延伸方向，而方向的数学表征具有多样化. 虽然不同时期不同版本的教材对斜率的定义方式不尽相同，但表征斜率的形式都离不开代数、几何和运动等形式，如角度（直线的倾斜角）、向量（直线的方向向量和法向量）、平移变化和一次函数图象等. 多样化的概念表征无论是对内涵的理解还是概念网络的建立都是必要的. 教材也选用了倾斜角来表征斜率，但斜率的定义不是源于倾斜角的正切函数值而是趋于本质的“函数平均变化率”. 回顾斜率公式的教学，过分强调直线上任意两点的坐标都能表达和计算斜率，没有理清直线斜率与点坐标间的逻辑关系，又使得斜率的表征形式单一，致使学生在面对斜率数值时，概念的提取形式僵化，能够建立的联系单一，这样概念理解很难深化，后续的灵活运用将缺乏思维的源泉.

三、相应的对策

1. 重视章起始课教学，建构恰当的概念语境

数学概念不仅表现为一种逻辑关系，同时还有语境和情境的问题. 语境是表达概念外在形式的载体，同时还创造了相关概念的整体语言氛围. 坐标法及蕴涵的数学思想是平面解析几何的概念语境和情境，这对于初学者而言因研究视角和研究方法的变化而显得不能适应和接受，所以在学生认知过程中，适宜的语境氛围对于概念接纳理解和后续学习都是十分必要的. 数学章起始课的重要教学功能就是创建适合概念学习的语境和情境.“直线的斜率”是“平面解析几何初步”章起始课的教学内容，学生对其理解程度不仅反映在知识点的掌握上，也对概念语境的建构产生直接的影响.

为建构解析几何的概念语境，教师应从课程的整体性和系统性理解教学内容和目标，辩证地面对“知识的整体性与教学的分散性”之间的矛盾. 实践中，学生学完直线方程即可发现“并非所有的直线都是一次函数的图象”，这有助于澄清片面认识，强化知识间的联结，促进整体理解形成整体观念. 教学时，教师可以根据“历史相似性原理”创设情境让学生经历“绕不开”的那几步，以此体会解析几何的研究内容和方法，还可以创设相关活动，如查阅数学史实、撰写小论文等，为学生感悟坐标法中蕴涵的量化、符号化和变量化思想提供机会.

2. 创设合适情境，寻找认知基点激发学习心向

一次函数的学习，使“两点确定一条直线”成为学生的共识. 但是，他们既没有思考两点是如何确定直线的，也缺乏这样思考的意识. 因为学习函数时，函数的图象是作为研究函数性质的途径和工具，教学的最终会落点在函数的性质上，通过“描点、连线”画图象的依据和严谨性不是彼时教学的必须. 而在平面解析几何中，用代数的方法研究几何图形，这种研究视角的改变不是学生熟悉的，教学时在学生熟知的知识体系中提出陌生的问题. 例如，如何保证一次函数解析式确定的所有点都在由两点画出的直线上？如何保证由两点画出的直线上所有点的坐标都满足一次函数的解析式？可以将学生带入“愤”“悱”的状态，形成学习心向促进主动接纳，把思维引向两点的确定性与直线延伸的方向性的联系上来. 这样既可以使得学习新知识的意义不言自明，思维敏锐的学生还能捕捉到“另起炉灶”意味着思维视角和研究方法的改变.

3. 恰当安排活动，拉长思维进程，减缓抽象坡度

《辞海》对“本质”一词的解释为“事物内部稳定的联系”，教学中应以表现本质属性的关系和问题为载体，设置与之相应的认知活动，如观察、比较、辨别、表达等. 通过这些具体认知活动可以拉长思维进程、减缓思维坡度，以促进概念理解和观念形成. 在教学过程中，笔者提炼直线本质属性的过程如下：先以追问“两点究竟是确定了直线的哪种属性，从而才使得直线得以确定？”引导学生思考，在形成“延伸方向是直线的本质属性”的认识后，任意画出一条直线，让学生表达其延伸方向，当学生明白直线上任意两点都可以用来表达延伸方向时，以表达的任意性凸显直线延伸方向的唯一确定性;然后让学生辨别平行直线延伸方向的一致性和相交直线延伸方向的不一致性，明确延伸方向与直线位置的因果关系，以此强化对直线本质属性的理解;最后在观察、描述多对相交直线倾斜程度差异性的活动中，形成差异的精确化需要倾斜程度的数量化，引入斜率概念和公式. 这样，让学生在具体数学活动中亲身体验数形结合具有内在的一致性.

4. 多样化概念表征，建立联系形成概念图式

数学概念教学的重要课题是如何帮助学生适时、连续地完成概念图式的不断形成和转换. 相关概念间的逻辑、并行、上下位等关系是形成概念图式的基本途径. 多样化的表征对于核心概念图式（如直线的斜率）的形成和转化至关重要. 如下案例是笔者多样化表征斜率的教学片断.

案例：斜率数值的形象化.

师：在平面上画直线，使其斜率分别等于数值1，[-1]，[12]，[-23]，并简要说明依据.

对于1和[12]，有的学生转化为等腰直角三角形和内角为30°的直角三角形（虽然找出的三角形不对，但是思路很好）的斜边，也有的学生转化为一次函数的图象;对于-1和[-23]，采用直角三角形画法的学生显得有些无助.

师：大家采用的策略都是以形助数，把斜率的数值与具体的图形建立关联，图形直观可以为问题的解决提供帮助. 从公式结构看，斜率是[Δy]与[Δx]的比值，如果将[Δy]和[Δx]都看成变量，有何发现？

生：将公式变形后即为[Δy=kΔx]，是一次函数关系.

师：若从函数关系的内涵思考，可以得到什么？以[k=-23]为例具体说明.

生：若确定了[Δx]的值，则[Δy]也随之确定. 例如，当[Δx=3]时，[Δy=-2].

师：利用哪种图形可以表达[Δx=3]和[Δy=-2]呢？

学生进入沉思状态，稍后学生提出平移变换，将点向右平移3个单位再向下平移2个单位，即可实现[Δx=3]和[Δy=-2].

师：同学们的思考非常有意义！枯燥的斜率[k]被看成了直角三角形、一次函数的图象和平移变换，丰富了对斜率的认识. 在后续学习中，斜率也许还有其他的形象.

解析几何的核心是数形结合，遵循“几何问题代数表达—代数运算获得结果—代数结果的几何形式”的研究过程，但是这并非机械的线性顺序，而是要数形结合贯穿始终. 实际上，图形的代数表达既不能僵化也不是单向的，而是在深入分析形的特征和几何推理的基础上完成的;而代数运算也不是纯粹的运算，要以形启算、以形导算、以形验算，才能使运算的路径简洁，结果合理. 学生不能由斜率的数值画出直线，表明他们不能识别斜率数值中隐含的图形特征，无法将其与具体图形建立关联.

另外，概念间的逻辑关系也是影响概念理解和概念图式的重要因素. 例如，斜率与点坐标间的关系，在有些学生的理解中，斜率就是两点的纵、横坐标变化量的比值，所以必须有点的坐标才能求出直线的斜率. 如此，点坐标是斜率的先决条件，斜率变成了点坐标的附属品. 显然，这使两者的逻辑关系本末倒置了. 在教学中，教师提出问题：不在坐标系中的直線存在斜率吗？如果存在，将其表达出来. 这样就可以清楚斜率与点坐标之间的关系，使学生形成正确的认知.

四、结语

对于核心概念的教学，接纳理解应重于运算训练. 运算是一种重要的数学能力和素养，培养运算能力不能仅靠技能训练而脱离数学理解. 训练需要建立在理解的基础上. 因为数学概念、定理、法则的理解，公式的灵活运用等必须通过解题训练来完成，这是数学的学科特点，也是数学教学中更加具体的教学任务，但是如果教学中仅以运用和训练来代替数学理解，在形式上就会落入“数学教学 = 解题教学 = 题型教学 = 刺激 - 反应训练”的窠臼，实质上是“浅教学”，容易造成记题型套公式的错误认知，对发展学生的逻辑推理能力没有推动作用. 因为逻辑推理须讲究逻辑的起点、过程和结果，只有明确数学概念和数学方法之间的逻辑关系，才能按逻辑关系有序思考. 在解析几何学习中，经常听到学生感慨：能找到题目的解法，但是却算不出来结果. 于是“熟能生巧”就被奉为训练的法宝. 在直线斜率这样的章起始课中，涉及章节核心概念生成、思维方式的转变及数学思想方法的萌生，应该分清轻重缓急，显然接纳理解应重于运算训练.

参考文献：

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收稿日期：2020-07-08

基金项目：江苏省教育科学“十三五”规划课题——对高中数学教科书中章头图和章头语的教学研究（B-b/2016/02/118）.

作者简介：李昌（1972— ），男，中学高级教师，主要从事高中数学教学研究.