为学生的数学理解而教

毛大平 应佳成

摘  要：通过对正比例函数的图象和性质的教学内容及教学目标进行解析，提出研究的问题，然后从“数”到“形”，研究正比例函数图象，再借助图象，研究正比例函数的性质，构建起数形结合的研究路径，体现了为学生的数学理解而教.

关键词：正比例函数;数形结合;教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

正比例函数的图象及性质.

2. 内容解析

本节课选自北师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章第3节“一次函数的图象”（第1课时）——正比例函数的图象.

本节课主要从两个方面对正比例函数的性质进行研究. 一方面，从“数”的角度进行研究，借助正比例函数解析式[y=kx][k≠0，] 取一些特殊点，观察当自变量x的值增大时，函数值y是增大还是减小，然后进一步观察当自变量x等距变化时函数值y的变化情况;另一方面，从“形”的角度进行研究，用描点法画出函数图象，在得到“正比例函数的图象是一条直线”后，根据“两点确定一条直线”，得到简便画法——两点法. 自变量增大意味着图象上动点的位置是从左向右移动，从函数值的增大（或减小）可以看出动点是上升（或下降），这样借助图象可以直观地认识正比例函数的性质. 数形结合法是研究函数的性质的基本方法.

正比例函数性质的核心是其增减性与系数k的符号之间的关系.

正比例函数性质的研究方法，不仅可以用在一次函数性质的研究中，而且可以用在后续要学习的反比例函数和二次函数的图象与性质的研究中，体现了函数学习方法的一致性.

综上所述，确定本节课的教学重点是：运用数形结合思想方法，通过画图、观察，概括正比例函数的性质（函数的增减性与系数[k]的符号之间的关系）.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）会画正比例函数的图象.

（2）能根据正比例函数的图象和表达式[y=kx]（k[≠]0），理解当[k>0]或[k<0]时图象的变化情况，从而理解正比例函数的增减性.

（3）在观察正比例函数图象，归纳正比例函数性质的过程中体会数形结合思想.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：面对一个陌生的初等函数，观察和归纳是直观认识函数图象性质的基本方法. 在用描点法画出正比例函数图象后猜测并验证其图象是一条直线，再根据“两点确定一条直线”获得正比例函数图象的两点画图法. 要求学生能熟练应用“两点法”画出一个具体的正比例函数图象.

达成目标（2）的标志：结合图象理解当[k>0]和[k<0]时正比例函数图象的变化情况. 知道k的符号变化是影响正比例函数图象走向，进而造成增减性变化的唯一因素;能根据[k>0]和[k<0]分别画出函数图象并确定函数的增减性.

达成目标（3）的标志：体会数形结合思想，引导学生感受“以形助数，以数解形”，并在这种用图象表示数学对象的过程中发展数学直观;发展数学感知能力，要求学生能通过直观观察发现图象的特征;发展数学表征能力，要求学生会用图象描述变量之间的对应关系，用变量的变化规律解释图象特征;发展数学概括能力，要求学生能在教师的引导下概括出正比例函数的性质.

三、教学问题诊断分析

通过学习正比例函数，体会正比例函数图象的位置和增减性受系数[k]的影响. 在具体的学习过程中，如果学生没有经历画图、观察、概括的过程，可能只是记住结论. 学生在探究性质时，会跟着教师画图、观察、概括，但在理解、记忆和应用性质时，往往又抛开了图象. 学生在观察图象时，并没有把图象特征通过坐标的意义转化为函数性质，只是停留在语义记忆层次上.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：以坐标为中介，把函数图象特征解释成变量的对应关系和变化规律.

四、教学支持条件分析

观察直线[y=kx k≠0]中[y]随[x]的变化情况及[k]的符号变化导致函数增减性的变化时，在学生独立画图象、观察图象的基础上，教师用几何画板软件充分展示其运动变化过程，以便于学生理解和记忆.

五、教学过程设计

环节1：复习回顾，引出问题.

问题1：我们研究一个函数，主要研究什么？

回顾函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量[x]和[y]，并且对于变量[x]的每一个值，变量[y]都有唯一的值与它对应，那么我们称[y]是[x]的函数，其中[x]是自变量.

根据函数的定义，我们知道函数主要研究的是“在一个变化过程中，当[x]变化时，[y]是怎样变化的？”

【设计意图】在本章第1节，学生已经学习了函数的概念，研究对象已经确定. 通过复习回顾函数概念，引出本节课要研究的问题.

环节2：从“数”到“形”，研究正比例函数图象.

问题2：我们先来研究一个较为简单的正比例函数[y=2x.] 当[x]变化时，[y]是怎么变化的？

学生发现[y]随[x]的增大而增大.

问题3：对于[y=-3x，] [y]随[x]的变化而怎么变化？

学生发现[y]随[x]的增大而减小.

【设计意图】在学习正比例函数的图象之前，学生已经了解正比例函数的解析式. 此环节借助正比例函数的解析式，从“数”的角度研究具体的正比例函数中[y]随[x]的变化情况.

问题4：当[x]怎样取值，能更好地研究[y]的变化？

教师先让学生计算表1和表2中的y值.

追问：以上表格中，[x]是按从小到大的順序取值的，选取的每两个相邻自变量的增加量并没有规律，对应的[y]值也没有规律. 那么[x]怎样取值，能更好地研究[y]的变化？

学生会发现当将[x]取-2，-1，0，1，2时，[x]值等距增长，[y]的变化规律如表3所示.

分析发现：在正比例函数中，当x的值等距变化时，y的值也等距变化.

【设计意图】通过对自变量[x]按从小到大的顺序取值，归纳出对于具体的正比例函数，当自变量x等距变化时，函数值y也等距变化.

问题5：怎样利用图象研究以上函数？

图1是教材第四章第1节“函数”中给出的摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间的关系. 由此可以看出，图象是由点构成的，每个自变量的值是点的横坐标，相应的函数值是点的纵坐标. 从而引出函数图象的概念，即把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.

问题6：如何画出正比例函数[y=2x]的图象？

学生将表3中列举的5组特殊值，转化成5个有序实数对[-2，-4，] [-1，-2，] [0，0，] [1，2，] [2，4，] 描出5个点，观察并猜测[y=2x]的图象是一条直线.

教师在几何画板软件上追踪点[Px，2x，] 画出更多的点，猜想满足[y=2x]的点在一条直线上. 将这条直线画出来后，学生发现直上线任意一点的横、纵坐标都满足解析式，进一步验证了[y=2x]的图象是一条直线.

问题7：如何推理证明[y=2x]的图象是一条直线？

接着取更多的单位增长量，可以得到所有单位增长的点都共线，从而证明所有的点都是共线的.

【设计意图】通过问题6和问题7引导学生经历对正比例函数图象观察、猜想、验证、证明的完整探究体验过程，促进学生对“正比例函数的图象是一条直线”的深刻理解，为后面研究正比例函数的性质做好铺垫.

师生总结运用描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线.

练习1：用描点法画出正比例函数[y=-3x]的图象.

你说我画：学生说出一个正比例函数，教师在几何画板软件上画图.

【设计意图】通过练习1巩固用描点法画函数图象的步骤，在“你说我画”的活动中，让学生进一步直观感受“任意正比例函数的图象都是一条直线”.

问题8：你能找到画正比例函数图象的简便方法吗？

师生总结：只需要两个点就可以画出正比例函数的图象，简称“两点法”.

练习2：用“两点法”在同一直角坐标系内画出函数[y=x，y=4x]和[y=-12x]的图象.

【设计意图】在得到“正比例函数的图象是一条直线”的结论后，可以继续得到画正比例函数图象的简便方法——两点法. 在学生利用“两点法”画出多个正比例函数图象过程中，积累和提炼出常用的“两点”.

环节3：借助图象，研究正比例函数的性质.

问题9：如图3，观察函数[y=2x，] [y=-3x，] [y=x，] [y=4x]和[y=-12x]的图象，根据相应图象上的点从左到右的变化趋势，将函数分类，你认为可以怎样分？理由是什么？

按[k>0]和[k<0]分成两类. 当[k>0]时，图象从左到右逐渐上升，经过第一、三象限;当[k<0]时，图象从左到右逐渐下降，经过第二、四象限. 也就是说，当[k>0]时，[y]随[x]的增大而增大;当[k<0]时，[y]随[x]的增大而减小. 教师利用几何画板软件进行验证，如图4和图5所示.

追问：对于正比例函数[y=2x]和[y=4x]，隨着x值的增大，[y]的值都增大了，哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？对于正比例函数[y=-12x]和[y=][-4x]呢？

在几何画板软件上观察图4和图5的变化过程，发现：当[k>0]时，[k]的值越大，直线越陡;当[k<0]时，[k]的值越小，直线越陡. 因此，归纳出正比例函数的函数值增减速度与[k]的绝对值有关：[k]的绝对值越大，[y]的变化速度越快;[k]的绝对值越小，[y]的变化速度越慢.

【设计意图】以上“利用数形结合发现正比例函数图象性质”的方法也为后续研究反比例函数和二次函数的性质提供了可操作的思路.

环节4：初步应用，巩固知识.

【设计意图】通过以上练习考查学生对正比例函数性质的掌握情况.

环节5：课堂小结，呈现研究路径.

师生总结本节课的研究框架图，如图7所示.

【设计意图】呈现整节课对正比例函数图象和性质的研究路径，为后续学习一次函数及其他函数的图象和性质提供借鉴.

环节6：目标检测，评价课堂效果.

（1）对于正比例函数[y=3x，] 当自变量x的值增加1时，y的值增加      .

【设计意图】考查学生对“正比例函数中，x的值等距增长时，y的值等距增长或减小”的规律的掌握情况.

（2）用“两点法”画出正比例函数[y=32x]的图象.

【设计意图】考查学生用“两点法”画正比例函数图象的能力.

（3）若正比例函数[y=mx]（m是常数，[m≠0]）的图象经过点[Am，4，] 且y的值随x值的增大而减小，则m的值等于（    ）.

（A）2    （B）-2    （C）4    （D）-4

（4）已知点[Ax1，y1，Bx2，y2]都在正比例函数[y=kx]的图象上，若[k<0，] 且[x1]<[x2，] 则[y1]    [y2].（填“[>]”“[<]”或“[=]”）

【设计意图】考查学生对正比例函数性质的掌握情况.

六、教学反思

一次函数是学生在初中阶段研究的第一类函数，研究经验的积累和总结非常重要. 将合理有效的研究方式迁移到其他函数的学习中是一种重要的能力，这种能力的形成体现在如下几个方面.

1. 构建函数的研究思路

面对一个新的函数，对其性质进行研究是把握函数本质的关键，函数图象则是探索和发现性质的工具和手段. 从图象的特征出发探索得到函数的性质，体会正比例函数的变化规律. 例如，学生在学习正比例函数中图象上的点从左到右的变化趋势，能够发现图象的增减性;根据变化趋势相同时，图象的陡和缓对函数值变化速度的影响，发现[k]对函数性质的影响，等等. 究其本质，是对函数性质的研究，以及性质与解析式中系数的关系的研究. 尽管函数不同，但是思考方式都是类似的，主动用这样的思路去研究一个新的对象是一种重要的能力.

2. 在“数”和“形”之间转换

數形结合思想是重要的函数研究思想. 在画函数图象的过程中要注意分析解析式. 例如，本节课中，学生通过计算观察解析式[y=2x]和[y=-3x]中y随x的变化情况，从而对函数图象有大致的判断. 而在观察函数图象、归纳函数性质的过程中，要重视对函数特征的代数表达，引导学生发现x变化时y的变化特征，发现“当x等距增长时，y也等距增长（减小）”. 再从“形”的角度研究，运用描点法发现“正比例函数的图象是一条直线”，提出画正比例函数图象的简便方法——两点法. 以上操作是在“数”和“形”之间的自如转换，同时让学生体验从具体到抽象、从特殊到一般的思想.

3. 尝试对一个新的研究对象展开研究

在研究一次函数之后，教师应该及时引导学生迁移研究经验，为学生设计合适的学习材料，回顾、总结、提炼研究方法，为后续反比例函数和二次函数的学习做好铺垫，让数学学习能力切实得到提升.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]章建跃. 第三章“函数的概念与性质”教材介绍与教学建议[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（10）：17-24.

[3]程灿.“函数”教学设计[J]. 中国数学教育（初中版），2020（6）：27-30.