让学生思维参与的数学概念教学

毛大平 应佳成

摘  要：从单项式到多项式再到整式是认识整式的逻辑顺序. 单项式的结构含义是要素和要素的关系，要素是指系数、字母和字母的指数，由这个关系进一步得到多项式和整式的结构特征. 在“整式”一课的教学中，通过实施有学生思维参与的教学过程，使看似呈碎片化的多个概念通过要素与要素之间的关系分析而结构化，提升课堂教学效率.

关键词：整式;概念教学;数学思维

一、内容和内容解析

1. 内容

整式.

2. 内容解析

本节课选自北师大版《义务教育教科书·数学》七年级上册第三章第3节“整式”.

整式的学习在整个代数学习中都很关键，因为从数到式，要有完整的认识. 本节课按运算的顺序、加减的对象建起式的运算的逻辑顺序，认清整式的结构.

从单项式到多项式再到整式，这是认识整式的逻辑顺序. 单项式的结构含义是要素和要素的关系，要素是指系数、字母和字母的指数，由这个关系进一步得到多项式和整式的结构特点.

单独的一个数或字母也是单项式，这是单项式概念给出后的一个补充定义. 这是为了使概念呈现纯粹性和完备性的统一.

本节课从运算对象角度引入. 列举的例子要尽量是学生熟悉的、能弄清楚的，这样可以排除干扰，从数上升到式，数式通性体现在研究结构的一致性. 对整式内容的认识，关键是对对象结构的认识. 本节课是一节概念课，要落实好基础知识和基本技能，需要学生掌握用概念做判断的步骤.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）通过归纳、类比，经历单项式、多项式概念的发生过程.

（2）了解单项式、多项式、整式的概念.

（3）理解单项式的系数和次数的概念.

（4）理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念.

（5）了解整式在解决实际问题中的应用.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志是：能从单项式要素之间的关系理解单项式定义的形成过程;能从式与式的关系认识多项式和整式概念的发生过程.

达成目标（2）的标志是：会进行单项式、多项式、整式的分类.

达成目标（3）的标志是：能借助数的结构分析单项式的结构，理解单项式的系数和次数的概念，能找出具体的单项式中的系数和次数.

达成目标（4）的标志是：能理解多项式与单项式的内在联系，利用概念说出具体的多项式的项数，每项的系数和多项式的次数，注意到系数是带着符号的.

达成目标（5）的标志是：能初步分析实际问题中各种量之间的关系，利用整式解决实际问题.

三、教学问题诊断分析

学生在分析、归纳代数式的结构特征时，抓住系数、字母和字母指数之间的关系，得出单项式、单项式的系数和次数的概念，再通过研究单项式与单项式之间的加减运算关系，得出多项式的结构特征. 根据这些特征得出多项式、多项式的项和多项式的次数的概念.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为理解单项式、多项式相关概念中的系数、次数的概念，尤其是系数应包括符号.

四、教学过程设计

环节1：设置问题情境，引出研究对象.

问题1：利用这一章前两节所学知识完成下列列式.

（1）苹果每千克x元，列式表示买3千克苹果的价钱;

（2）某产品去年的产量是2n件，今年的产量是去年产量的m倍，列式表示今年的产量;

（3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是h cm，列式表示它的体积;

（4）列式表示体重由x kg减少2 kg后的质量;

（5）列式表示图1中阴影部分的面积.

【设计意图】通过设置学生熟悉的问题情境，既回顾了前面所学的“用字母表示数”和代数式，又为本节课的学习引出了研究对象.

环节2：单项式及其相关概念.

问题2：从运算符号来看，问题1中所列的五个式子有什么不同？如果分成两类，可以怎么分？

前三个式子都是乘法運算，分为一类;后两个式子中有加减运算，分为一类.

追问1：前三个代数式分别由哪些因数相乘？

3x是3和x的乘积;2mn是2，m，n的乘积;[a2]h是a，a，h的乘积. 这些式子都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式.

【设计意图】通过分析每个单项式各组成要素之间的关系，体会单项式概念的形成过程.

追问2：3x，2mn， [a2h]是单项式，那么x，a，0，-1是单项式吗？

x可以看成1与x的乘积，a可以看成1与a的乘积，所以它们也是单项式. 我们约定：单独的一个数或字母也是单项式.

【设计意图】对单项式的定义给出补充定义，使单项式概念呈完备性和纯粹性的统一.

问题3：观察单项式的因数，这些因数有什么特点？

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

3x的系数是3;2mn的系数是2;[a2]h的系数是1.

【设计意图】通过类比数的结构，发现式的结构特征，从而得到单项式的系数概念.

练习1：分别求单项式-2x，-a，[xy2]的系数.

【设计意图】强调系数包括符号;对于只含字母因数的单项式，它们的系数是1或-1.

问题4：3x中有1个字母因数，2mn中有2个字母因数，[a2]h中有字母a和h，[a2]代表2个a相乘，所以[a2]h中有3个字母因数. 我们可以用什么量来反映单项式的次数？

单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

练习2：试指出下列单项式的次数，并指出要注意哪些问题.

（1）3xy;（2） [-2x2y];（3） [5xy2].

【设计意图】巩固单项式的次数概念. 若不同的单项式中所含字母相同，而相同字母的指数可能不同，单项式的次数也可能不同.

问题5：填写下表.

[单项式 -5y -a3b 1.2xy3 [3ab2] -[43]xy2 系数 次数 ]

【设计意图】单项式的系数可以是负数，不能漏掉负号. 单项式的系数也可以是分数，不能漏了分母. 单项式所含的字母相同时，若相同字母的指数不同，单项式的次数也可能不同.

环节3：多项式及其相关概念.

问题6：在代数式3x，2mn， [a2h，] x - 2， [x2]+ 3x + 6中，观察后两个代数式与前面三个单项式有什么不同，其与单项式有什么联系？

总结：后两个多项式是单项式之间的加减运算，我们把减法统一成加法，就得到了多项式的概念，即它是几个单项式的和. 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 一个多项式中，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数.

【设计意图】多项式研究的是式与式之间的关系. 通过问题6引导学生体会多项式与单项式之间的内在关联.

练习3：多项式3x + 5y - 2z和2ar -[πr2]各由哪些项组成？每一项的系数是什么？各项的次数分别是多少？多项式的次数是多少？

【设计意图】巩固多项式的项和多项式的次数的概念，强调“多项式的每一项都包括它前面的符号”.

环节4：综合练习.

练习4：下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入图2的所属圈中. 指出其中各单项式的系数，以及哪个多项式的次数最高，最高次数是多少.

（1）[-15a2b;]（2）[3x2π;]（3） [2x-3y;]（4）[4a2b2]-4ab +[b2;]（5）-a;（6）[x3]+ 2y - x.

[单项式] [多项式][图2]

【设计意图】利用概念判断单项式和多项式，落实对基本概念的理解.

练习5：小明和小亮各收集了一些废电池，如果小明再多收集6个，他的废电池个数就是小亮的2倍. 根据题意列出整式.

（1）若小明收集了x个废电池，则小亮收集的废电池的个数是      ;

（2）若小亮收集了x个废电池，则小明的废电池的个数是      ;两人一共收集的废电池的个数是      .

【设计意图】通过练习5，培养学生列整式解决实际问题的能力. 对“两人一共收集的废电池的个数是多少？”这一问题的解决为接下来研究整式的加减埋下伏笔.

环节5：课堂小结.

师生在课堂上总结出结构框架图，如图3所示.

[列代数式] [归纳][概括][单项式][多项式] [系数][次数][项][次数][整式][整式的运算] [图3]

【设计意图】梳理、呈现整式的研究内容和研究思路，并指明整式是后续学习整式的运算的基础.

五、课堂目标检测

1. 观察下列整式：[7]h，[xy3]+[1]，[2]ab+[6]，[x3]-[2x2y2+3y2]. 其中，单项式有      ;多项式有      .

2. 多项式[-13x-x2y+2π]中有几项？每项的系数和次数分别是多少？该多项式的次数是多少？

3. 图4是一所住宅的建筑平面图（单位：m），列整式表示这所住宅的建筑面积.

x【设计意图】第1题检测学生是否会区分单项式和多项式. 第2题检测学生能否判断单项式的系数和次数，以及多项式的项和次数. 第3题检测学生在实际问题中列整式表示数量关系的能力.

六、教学反思

1. 情境引入，旨在获得研究对象

在环节1的情境引入中设置了五道小题，每个问题的背景都不复杂，目的是使学生能够在熟悉的情境中快速列出代数式. 在这个过程中不仅回顾了用字母表示数，而且获得了本节课的研究对象. 问题情境简单，不会对学生的理解造成干扰，达到了课堂引入“高效率”的效果.

2. 要素分析，激活学生的数学思维

郑毓信教授认为，数学学科核心素养的基本含义是通过数学教学帮助学生学会数学思维. 在“整式”这一课的教学中，通过类比数的结构可以研究式的结构. 研究单项式，关键是要弄清楚单项式各要素之间的关系. 在研究单项式后，研究多项式和整式，体现了式与式之间的关系. 这样就使原本碎片化的知识点结构化，激活了学生的数学思维. 由整式的学习到后续的分式、根式学习，它们之间也有内在的关联，这就是要素之间的关系.

3. 步驟化判断，落实基本概念

在对要素与要素之间的关系进行分析，形成单项式、多项式和整式的概念后，利用概念进行步骤化的判断训练. 例如，在练习1中求单项式的系数;通过问题5的填表巩固落实单项式系数和次数的概念;在练习2和综合练习中巩固落实单项式、多项式和整式的概念. 以上练习实现了在课堂上落实基础知识和基本技能，避免了在学习新知识的第一时间产生两极分化.

参考文献：

[1]章建跃，陶维林. 概念教学必须体现概念的形成过程：“平面向量的概念”的教学与反思[J]. 数学通报，2010，49（1）：25-29，33.