高考“坐标系与参数方程”难点教学研究

谢效安

摘 要：新课改之后，“坐标系与参数方程”被列为单独的学习重点，由此可见在当前高中数学教学中其占有的重要地位。本文结合“坐标系与参数方程”的重要性，针对学生对坐标系、参数方程概念、公式理解不到位，解题思路存在偏差等问题，提出具体教学方法，希望学生真正掌握这一考点，在高考中完整解答出来。

关键词：坐标系;参数方程;难点教学

引言：“坐标系与参数方程”与“不等式计算”是我国高考数学科目全国卷最后一道选做性大题，相比纯数字问题，考生对图形结合数字的知识更感兴趣，基于对三角函数等初步知识的熟悉程度，大多数考生都会选做“坐标系与参数方程”，由于在高三期间才接触此项知识点，所学时间有限，考生整体得分率偏低。

1.“坐标系与参数方程”的重要性

数学学习是一个由简入深的过程，涉及图形与代数相结合的问题，需要学生逐步形成由具象到抽象的思维方式。“坐标系与参数方程”在数学教学体系中占有非常重要的作用：

第一，内容设置在高三年级的选修章节，从教学大纲的要求标准来看，进入此期间的学生应该具备初步的抽象思维能力，且对直角坐标系、函数等知识点拥有足够的练习，可以适时学习参数方程，初步掌握不同方程的变换应用，为将来学习高等数学打下基础。

第二，在当前应试教育环境下，再强的能力也需要从最终的高考试卷中体现，“分数”依然是硬指标，相比“不等式计算”，“坐标系与参数方程”的试题更容易解答，题目分为两部分，大多数考生能够快速算出第一部分的基础求解，第二部分如果不能全部解答，将解题思路中应用的基础公式写出，也能够获取一定的分数，因此学好“坐标系与参数方程”能够提高高考成绩，在“千军万马过独木桥”的竞争环境下，每一分都显得至关重要。

2.针对“坐标系与参数方程”难点的教学方法

2.1针对概念、公式理解不到位的方法

学生对直角坐标系的理解通常没有问题，难点在于参数方程中连接y值、x值的参数t，比如参数方程概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f（t），y=g（t）①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。由于是选修课程，教师在教授环节往往将概念直接带过，直接进行后续解题思路讲解，但是学生看到方程组的第一眼就会产生思维上的恐惧感，对概念的组成要素处于“懵”的状态，无论后面老师说什么都无法有效记忆。因此教师在教学中，应该针对概念中的元素逐一解释：第一，参数方程中的方程组①，其中的x，y均是由t的不同取值而得出的因变量，不再是以前所学方程中的自变量。第二，方程组①的变量是t，x与y各自随t的变化而变化，如果学生还是不能理解，可以将f（t）、g（t）用具体方程表示，如x=at2+bt，y=bt+c，如此学生能够立刻结合以前所学，明确x，y在次方程组中的含义，结合概念中后半部分介绍的点M（x，y），能够使学生充分将直角坐标系与方程组①结合起来，当学生理解之后，开展后续教学工作会非常轻松[1]。

2.2针对解题思路存在偏差的方法

学生的思维方式是将难度较大的、未知的问题带入已知，利用已知解决未知。如同大多数学生学习英语的方式，先将英语句式翻译成汉语，利用汉语思维解答之后再翻译成英语。在解答“坐标系与参数方程”时，学生往往看到“极坐标系的参数方程”字样时，无论后续问题是什么，立刻转化为直角坐标方程，将参数去掉，转为普通方程，这样的解题思路应对一些基础习题和难度偏低的题目很有效果，但长此以往不利于学生养成正确的特定坐标系下参数方程解题思路，近年来高考命题者充分考虑极坐标系的极角、极径以及参数的几何含义，一旦学生使用偏差的解题思路，会使解题过程复杂化。如例题：在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2-4ρsinθ=6，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线l的参数方程为x=2+t，y=3+t（t为参数），且直线l与曲线C相交于A，B两点，写出曲线C的直角坐标方程和l的普通方程。解题过程很简单：由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得出曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y-6=0，将直线l的参数方程中参数t消掉，得出直线l的普通方程为x-y+1=0。此题重点考察极坐标与直角坐标、普通方程之间的转化，教师需要特别注意对学生进行引导，高考题目会在基础题目上加以延伸，如果学生在延伸题目中无法找到解题思路，需要将题目重新审查，直接从极坐标系参数方程的角度入手，将极坐标系的基础公式写出来，获取更高的分数。

2.3针对方程综合应用能力较差的方法

学生针对方程综合应用能力较差，背后的原因是对方程之间的转换理解不够深，学生对直角坐标系理解普遍没有问题，因此对将极坐标系参数方程转化为直角坐标系参数方程和普通方程的题目能够轻松解答，反之则缺乏有效思路，因此教师在教学时应该加深学生对方程转化之间的概念理解，使学生灵活运用。如例题：将直角坐标方程y=-0.28x²-21x-3400，轉化为极坐标方程，教师应该将教学重点放在x，y从直角坐标系到极坐标系的变换，先将方程拆解，再带入回去。解题思路为x=ρcosθ，y=ρsinθ，再替换，得ρsinθ=-0.28ρ²cos²θ-21ρcosθ-3400，整理之后最终答案为：0.28ρ²cos²θ+21ρcosθ+ρsinθ+3400=0，如果学生陷入思维的“死胡同”，教师应该加强学生对于公式的记忆，采取适当的“死记硬背”形式，在脑海中形成条件反射，看到极坐标系与直角坐标系相互转化，立刻想到x=ρcosθ，y=ρsinθ，在高考试卷上先写下相关公式，顺着解题流程一步一步写下去，根据时间决定是否进行后续计算[2]。

结语：虽然“坐标系与参数方程”是选修课程，在高考试卷中也可以选做，但长期来看，将坐标系和参数方程的概念完全吸收，知其所以然，能够为考生踏入大学校园学习高等数学中的高级微积分等知识打下良好基础，年轻人朝气蓬勃，应该勇于挑战，征服一座又一座高峰。

参考文献

[1]安娜.探究坐标系与参数方程的解题策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（20）：38-41.

[2]范淑娟.高考中的坐标系与参数方程问题[J].课程教育研究，2019（41）：114-115.