函数与方程思想在解析几何教学中的渗透案例

吴政先

摘要：在高中数学解析几何章节中，习题的共同特点是计算量大，解题过程繁琐，这对学生的数学核心素养能力提出了很高的要求，如逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析等能力都会在本章中有所体现，如果教师一味的就提论题，而不注重数学方法的培养，学生很容易对本章内容失去信心，而函数与方程思想在本章的学习中应用非常广泛，如果能学好函数与方程思想，学生便能对本章内容有更深刻的认识和了解，那如何将函数与方程的思想渗透在解析几何的教学中，是我讲授本章内容必须思考的一个问题。下面是椭圆及其方程章节讲完之后，进行小结复习的一则案例。

關键词：几何教学;核心素养;函数与方程

【教学目标】：通过两个例题的讲解，使学生加深对函数与方程思想的认识，能进一步运用函数与方程的思想解决有关问题，提高他们的数学运算、数据分析等数学核心素养。

例1：求过点  且与椭圆 有相同焦点的椭圆方程。

【设计意图】：本节课前已学习完椭圆的标准方程及其性质，对椭圆已有一定的认识，本题是对教材的例1进行改编的，可以用教材中的椭圆的定义法求解，但是因为此方法涉及到根式再开方的计算，所以很多同学不太会，而对于求解椭圆方程的许多问题，都可以用方程的思想来解决，本例给出了两种不同的待定系数法，进一步加深了学生对方程思想的理解。

方法一：设所求椭圆方程为 ，将点 代入联立 得 ，故所求椭圆方程为 。

此方法的解题关键是要根据已知条件联立方程组，用到了函数与方程的思想，它能够帮助学生了解不同变量之间的等量关系，能够形成一定的逻辑思维，达成一定的通性通法。

方法二：设所求椭圆方程为 ，将点 代入得 ，故所求椭圆方程为 。

此方法仍然用的是函数与方程思想，但是它是在方法一上进行了改良，这就需要学生先掌握好方法一当中不同变量之间的等量关系，并能自我探讨对方程简化的过程，在原有的通性通法上形成新的思路，更进一步加深对方程思想的理解。

方法三： ，

一般的学生在根式的化简上功力还不够，但本题即使不会化简该根式，如果能想到方程的思想，将该式两边同时平方，也是很容易算出最后的结果的，所以函数与方程的思想在教学中可以不断地通过习题来加以渗透，我们主张一题多解，多法并存，将多种数学思想加以综合，形成全新的数学思想，进而融会贯通，提升学生的综合运用能力和核心素养。

例2：已知椭圆 ，四点 中恰有三点在椭圆C上 。（1）求椭圆C的方程;（2）设直线 不经过 点且与C相交于 两点。若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点.

【设计意图】：本题是2017年新课标1卷理科数学高考原题，首先它需要学生能由椭圆的对称性，从4个点中挑出3个点，这体现了逻辑推理和数据分析的核心素养，其次它涉及到一定的运算，也体现了数学运算的核心素养。

本题的两小问都体现了方程思想，第二问的动直线过定点问题也体现了函数思想。

参考文献：

[1]20世纪前半叶我国中学解析几何课程演变之探微[J]. 张美霞，代钦.  内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）. 2018（03）

[2]落实“五重五通”打造灵动课堂——解析几何一轮复习中难点教学的实践与思考[J]. 张启兆.  数学通报. 2019（03）