立体几何代数化

摘 要：立体几何是高中学习的一个难点，文科生的空间想象能力普遍偏弱，笔者主要分析了立体几何中一些重要题型，通过立体几何代数化，有效降低对学生空间想象能力的要求，让文科生更容易解决问题，提高教学的有效性。

关键词：立体几何、空间想象能力、代数化、外接圆、外接球

高中阶段进入立体几何的学习，跟初中的平面几何相比，对学生的空间想象能力提出了更高的要求，对于很多文科生来说，数学本来就弱，而立体几何更是难上加难，甚至有不少学生就是因为感觉立体几何太难才转投文科数学的怀抱。按正常来说，理科的立体几何难度肯定高于文科，然而对于文科生来说，立体几何真的会变容易吗？

在高中的数学教材中，立体几何被分成了两个部分。第一部分：学习空间几何体的结构特征、三视图和直观图;简单空间几何体表面积和体积;空间点、线、面的位置关系;线面平行和垂直的性质定理和判断定理，这是必修2的内容，共18课时。这一部分主要是培养学生空间想象能力，文理科生都要学习，对文理科生要求是相同的。第二部分：理科生还要学习选修2-1中的空间向量与立体几何，这一部分引入空间向量，在几何图形的基础上，利用空间向量来证明空间点、线、面的位置关系及求角、面积、体积等。这是用代数的方法解决几何问题，在一定程度上降低了空间想象能力，提高了对学生计算能力的要求，又体现几何代数化的过程，而文科学生对这一部分是不作要求的。

正因为空间向量对文科生不作要求，他们要解决立体几何问题必须完全通过图形，而无法将立体几何代数化来处理。事实上，文科生和理科生的思维方式差异较大，文科生的抽象思维水平不高，空间想象能力普遍偏弱，然而计算能力未必弱于理科生，换一种说法，计算能力也比空间想象能力容易提高，如果立体问题只能通过图像，无法通过计算，那就无形中就加大了立体几何的难度。所以对于文科生来说，立体几何不是变容易了，而是更难了。本文主要是探究一下对于立体几何中的某些重点问题，我们能否将它代数化以降低对学生空间想象能力的要求，让文科生更易于解决问题，提高教学的有效性。

一、线面垂直模型外接球问题的代数化

例1：已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，，则该球的表面积为（ ）

A.8π B.16π C.32π D.36π

这题是福建省龙岩市2017年高中毕业班教学质量检查的第10题，是一道比较典型的外接球问题，对学生的空间想象能力要求是比较高的，因为侧棱PA⊥平面ABC，所以考虑将三棱锥补成柱体。过B作PA的平行线，过P作AB的平行线，两条平行线相交于B'点，同理过C作PA的平行线，过P作AC的平行线，两条平行线相交于C'点，连接B'C'，这样就构成了一个正三棱柱ABC-PB'C'，

所以球心O就在上下底面外接圆圆心（正三角形的中心）DD'的中点处，OB'就是外接球的半径。

我们可以进一步探究，如果把上题做一个小小的变动，将三棱锥改成四棱锥，已知四棱锥P-ABCD的四个顶点均在同一球面上其中底面ABCD是正方形，PA⊥ABCD，，求该球的表面积。这时候会发现解题思路是一样的，也是讲四棱锥补成四棱柱，球心也是在上下底面外接圆圆心（正方形的中心）连线的中点处。

因此我们可以得到一个统一的模型，在线面垂直模型（一条直线垂直于底面）的外接球问题中，外接球半径，其中r1是底面外接圆的半径，h是垂线的长度。这样可以把这种类型的题目代数化，有效的降低了对空间想象能力的要求，学生碰到这类题目只要解决一个平面三角形的外接圆问题即可，这样在教学过程中，学生更易于接受，有效性得到了很大的提高。

二、面面垂直模型外接球问题的代数化

将这题改编一下，例2：已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中ΔPAB、ΔABC是正三角形，面PAB⊥平面ABC，，则该球的表面积为_______

例1与例2不同之处在于，例1是线面垂直模型，例2是两个平面互相垂直即面面垂直模型。

分别找出ΔABC、ΔPAB外接圆的圆心O1，O2，过O1作ΔABC的垂线，过O2作ΔPAB的垂线，两条垂线相交于O点，O点就是外接球的球心。OA的长就是外接球的半径。

可以看到这道题对学生的空间想象能力要求更高，很多学生甚至都找不到球心的位置，这种题目对于很多文科生来说会望而却步，那么能不能将这种题目代数化呢？我们将这题推广一下，推广到面面垂直模型（两个平面互相垂直），分别过两个面外接圆的圆心O1，O2做两个面的垂线，两条垂线的交点就是球心O，∴OO1⊥面O1，OO2⊥面O2;AB就是两个面的交线，并且我们可以得到AB⊥面OO1CO2，且四边形OO1CO2是矩形。

我们记外接球的半径为R，外接圆O1的半径为r1，外接圆O2的半径为r2，AB的长度为d，

所以我们得到了面面垂直模型的外接球公式：，其中两个面外接圆的半径分别为r1，r2两个面交线的长度为d.这样对空间想象能力的要求明显降低了，学生碰到这类题目只要解决二个平面三角形的外接圆问题就可以求出外接球的半径。通过代数化，这种中等难度的题型一下变得简单起来，无论是学还是教，成效都很明显。

三、二面角模型外接球问题的代数化

我们进一步探究一下这种模型，如果两个面不是垂直的，假设两个面的二面角为θ，两个面外接圆的半径分别为r1，r2，两个面交线的长度为d，那么外接球的半径是多少？

分别过两个面外接圆的圆心O1，O2做两个面的垂线，两条垂线的交点仍然是球心O，∴OO1⊥面O1，OO2⊥面O2;AB就是两个面的交线，并且我们可以得到AB⊥面OO1CO2，且在四边形OO1CO2中，，.

当θ为钝角时，同理也可以得到上述公式，所以我们可以得到二面角模型外接球问题的一般公式：

有了上述公式之后，解决这类问题就变得容易多了，比如2017年福州市质检的一道题：

A.7π B.12π C.16π D.28π

这道题对于理科生来说都有不小的难度，更何况是文科生，如果画图用普通方法去解决这道题，能做出的学生寥寥无几，但是有了上面的公式后，连图都不用画，分别求出等边三角形的外接圆半径r1=2，的半径，直接代入可得R2=7，选D。问题迎刃而解。

当然并不是所有的题目都能代数化，在解决立体几何问题的过程中，空间想象能力是必不可少的，代数化的方法可以适当降低某些题型对文科生的空间想象能力的要求，但不可能代替这种能力，无论如何空间想象能力的培养还是几何最根本的要求。对于文科生来说，我们仍希望他们有较好的空间想象能力，这对于他们个人的核心素养的培养，对于自身发展有着很重要的意义。

参考文献

[1]魏正清.突破三棱锥外接球半径的六种策略.中学数学研究.2017年第6期（上）

[2]李莹华.几何体与球的切接問题.中学生数学.2018年1月上.

[3]崔红光，杨苍洲.“外接球”问题的解题策略.数理化解题研究.2017年第28期

[4]刘卫华.从高考试卷中分析高中文科学生的空间想象能力.东北师范大学

[5]翁青芳.当前高中文理生学习立体几何差异的比较研究.杭州师范大学

[6]周先华，原坤.把握数学本质的高三复习课堂.中学教学参考.2018.5中旬

作者简介：杨圣炜，性别：男，出生年月：1983年2月，籍贯：福建福州，工作单位：福州格致中学，研究方向：高中数学，学历：硕士研究生，职称：一级教师，邮编350001。