构造等比型数列求递推数列的通项

摘 要：本文针对常见的递推数列，归纳出一种统一的方法——用待定系数法构造等比型数列来求通项.

关键词：递推数列;待定系数;等比数列;通项

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0056-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：王洪信（1972.9-），男，本科，高级教师，从事高中数学教学研究.

解决递推数列问题，求出通项是关键.而求递推数列的通项，方法多样灵活，不易掌握.本文就几类常见的递推数列，总结出一种统一的方法——用待定系数来构造出等比数列.这种方法简便，易于掌握，实用性强.下面分类说明.

一、an+1=pan+q（p、q为常数，p≠1，q≠0）型

这是最常见的一阶递推数列.用待定系数法，设递推式可化成等比数列的形式：

与原递推式比较系数，可知2x=1，得x=12，这样有an+1+12=3（an+12）.所以数列{an+12}是公比为3的等比数列，该数列的首项是a1+12=32.

略解 设递推式可化为an+x=2（an-1+x），即an=2an-1+x，與原递推式比较系数，得x=1.可知{an+1}是公比为2，首项为a1+1=2的等比数列.故an+1=2×2n-1，得an=2n-1.

二、an+1=pan+f（n）（常数p≠1）型

其中的f（n）是我们熟知的数列，如等差数列、等比数列等.

1.{f（n）}是等差数列，即f（n）=An+B.

此时设递推式an+1=pan+An+B可化成an+1+x（n+1）y=p（an+xn+y），即

an+1=pan+（p-1）xn+（p-1）y-x.

与原递推式比较系数，得（p-1）x=A，

（p-1）y-x=B，可解出x，y.从而知{an+xn+y}是公比为p的等比数列.

例3 设a1=1，an+1=2an+2n+1，求an.

解 设递推可化为an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y），即an+1=2an+xn+（y-x）.

2.{f（n）}是等比数列，即f（n）=rqn.

设递推式an+1=pan+rqn可化成an+1+xqn+1=p（an+xqn），即an+1=pan+x（p-q）qn.

与原递推式比较系数有x（p-q）=r，解出x，从而知{an+xqn}是公比为p的等比数列.

点评 从上述两例可以看出，当f（n）是关于n的一次式（即等差数列），那么设出的待定式也是一次式（如xn+y）;当f（n）是关于n的指数式（即等比数列），那么设出的待定式也是指数式（如xqn）.简言之，设出与f（n）同型的待定式.

三、an+2=pan+1+qan（常数pq≠0）型

这是二阶递推数列，用待定系数法，设递推式可化成等比数列的形式：

xy=q.可解得x、y的值，从而可知{an+1+yan}是公比为x的等比数列.再列出关于an、an+1的方程组，解出an.

例5 （见课标教科书数学必修5 P696题）设a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求an.

点评 本例由待定系数的方程组只得一组解，虽然只能得到一个含有an+1与an的关系式，无法解得an，但这个关系式可转化成等差数列的问题，可方便地求出an.

参考文献：

[1]惠润科.浅谈递推数列中等差数列、等比数列的复习[J].数学通讯（上），2010（11，12）：45-46.

[2]邓显亮.递推关系求通项5法[J].数理天地，2011（11）：11.

[3]刘再平.递推数列问题的探究[J].中学生数学，2014（3）：36-37.

[责任编辑：李 璟]