从题目隐含信息中寻求解法的优化、简化及准确化

摘 要：本文就如何挖掘题目中的隐含信息来优化解题，从多个方面加以阐述.

关键词：隐含信息;挖掘;解题

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0051-03

收稿日期：2020-01-05

作者简介：雷亚庆（1972- ），男，中学高级教师，从事高中数学教学和解题研究.

我们在解决有些数学问题时，会碰到这样一种情况：一个问题如果按照常规思路很难去解决，即使能解决，也要大费一番周折，非常繁琐.而这时我们如果能根据问题的结构特征及其已知条件中的数量关系，挖掘潜在的已知和未知间的信息，通过巧妙的构造，就可以把问题转化为我们熟知的问题，从而使解答巧妙、简捷、准确.以下是笔者的一些粗浅的体会.

一、挖掘隐含信息，使解法得以优化

例1 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

分析 如果利用三角公式进行化简和求值运算，需要降幂公式和和差化积公式，仔细观察所给角的特征，我们发现隐含信息：38°，82°与60°正好构成一个三角形的三个内角，因此考虑构造三角形利用正余弦定理求解.

解 构造△ABC，使得A=38°，B=82°，C=60°，设△ABC外接圆直径为2R，则：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

例2 已知直线l：（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0，和圆C：x2+y2-x-y-2=0，试判断直线l与圆C的位置关系.

分析 本题的常规思路有两种：一利用圆心到直线距离与半径的大小关系;二是联立方程组，消元后利用根的判别式判断方程解的情况进而得到直线域圆的位置关系.但是两种方法都面临复杂的运算与化简.这时如果换个角度审题，我们就会发现题目中隐含的重要信息，那就是直线过定点，只要判断定点与圆的位置关系就可以顺利解决本题.

解 直线l：（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0的方程可化为

所以过点A的直线l一定与圆C相交.

二、挖掘隐含信息， 使解法得以简化

例3 已知函数f（x）=-12x2+x，是否存在实数m，n使得f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]如果存在，求出m，n;若不存在，说明理由.

常规解法 分类讨论

（3）当m<1     所以f（x）在[m，n]上的最大值为f（1）=12<2n，与已知条件矛盾，舍.

综上，存在m=-2，n=0，使得f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n].

反思 上述通性通法解法思路清晰，自然.不过我们发现后两种情况没有解.感觉忙了半天没有什么收获，能不能通过挖掘隐含信息避免不必要的讨论而使解法得以简化呢？我们发现当x∈R时，f（x）的最大值为12，当x∈[m，n]时，值域为[2m，2n]，因此我们发现本题条件所隐含的信息，那就是：2n≤12即n≤14，所以[m，n]（-∞，1），所以f（x）在[m，n]上单调递增.

分析 如果我们设f（x）=x2-2ax-1，题目中包含两个隐含信息：一是对称轴x=a（a>0），二是f（0）=-1<0.由对称性可知x1<0     解 A=xx<-3或x>1，由题意B≠，f（0）=-1<0可知函数f（x）=x2-2ax-1有两个零点，不妨设为x1，x2（x1     因为抛物线f（x）=x2-2ax-1的对称轴为x=a（a>0）， 由对称性可知x1<0     若x1<-3，则x2>3，则A∩B=xx1≤x<-3或1     因此若要A∩B中有且只有一个整数，需2≤x2<3，此时A∩B=2（如图1），所以f（2）≤0且f（3）>0（如图2）.

解得：34≤a<43.

三、挖掘隐含信息，使解题方法准确化

错因分析 这种解法由于没有发现y2≥0这一隐含信息，在将x2+y2变为一元二次函数f（x）=-12（x-3）2+92后弄错了定义域，致使最后结果出现错误.

正解 由3x2+2y2=6x得

例6 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2B，则cb的范围是

.

分析 这是一个二元目标函数的最值问题，从代数角度很难找到解题思路.这时我们仔细观察目标函数的特征，就会发现隐含的解题信息：二元目标函数可以转化为两条特殊曲线上的两个动点间的距离，解题思路由此清晰.

解 构造圆C：x2+（y-4）2=1和椭圆D：x29+y2=1.显然点P（x，4+1-x2）在圆C上，点Q（y，-1-y29）在椭圆D上，所以f（x，y）=PQ2.

问题转化为：求椭圆D上一动点Q到圆C上一动点P的距离的最大值

显然当PQ过圆C的圆心C时才可能取得最大值，即PQmax=PCmax+1

由此问题进一步转换为求定点C（0，4）与椭圆上动点Q的最大距离问题

所以当y0=-12时，CQ有最大值33.

所以PQ的最大值为33+1.

即f（x，y）的最大值为（33+1）2=28+63.

例8 求y=x-4+15-3x的值域.

分析 求根式函数的值域是一个难点，特别是双根式函数，实际上如果我们养成解决函数问题先明确定义域的好习惯的话，就会发现隐藏的解题信息，利用三角代换，就可以把根式函数转换为三角函数问题处理.

分析 習题咋一看很难，目标函数是一个二元双绝对值函数，如何才能去绝对值呢？怎么分类讨论呢？有点无从下手的感觉，实际上如果我们根据题干中隐含的信息作出可行域，就会发现原来问题比想象的简单的多.

解析 作出x2+y2≤1对应的区域，同时作出直线2x+y-4=0和直线x+3y-6=0（如右图）.由图形结合线性规划的知识可知：

从上述问题的解决过程中我们发现：解题时，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知的相关量进行定量分析，充分挖掘题目中的隐含信息，从中寻求解题思路的优化、简化、准确化乃至解题方向，避免无谓的分类讨论或繁琐的运算化简，提高思维的变通性，使问题得以顺利解决.

参考文献：

[1]雷亚庆.例谈数学解题中“除”的妙用[J].数理化解题研究，2017（07）：31-32.

[责任编辑：李 璟]