关注圆的形成 加强解题应用

摘 要：本文简述了圆的三种形成方式，解题时通过关注，应用于解题，开拓了解题思路，有的问题通过转化，利用圆的方程及图形解决显得很简捷，优化了解题思路.

關键词：圆;形成方式;解题应用

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0049-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：陈志年（1962.4-），男，安徽人，本科，中学高级教师，从事数学教学研究.

圆是我们大家很熟悉的一种图形，看似简单，实则奇妙，奇妙得连它的形成方式也多种多样.下面就圆的三种简单形成方式，例析它在解题中的应用.

一、圆的第一种形成方式

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.这是大家熟悉的圆的定义，也称为圆的第一定义.

例1 （2014年湖南高考题）在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足|CD|=1，则|OA+OB+OD|的取值范围是（  ）.

A.[4，6]      B.[19-1，19+1]

C.[23，27]D.[7-1，7+1]

解 ∵|CD|=1，∴动点D的轨迹是以点C为圆心，1为半径的圆，设D点的坐标为（x，y），则（x-3）2+y2=1.∵|OA+OB+OD|=（x-1）2+（y+3）2表示圆（x-3）2+y2=1上动点D到点（1，-3）的距离，∴|OA+OB+OD|的取值范围是[7-1，7+1]，答案选D.

例2 （1990年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，32）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标.

解 设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），∵e=32，∴a2=4b2，椭圆方程变为x2+4y2=4b2，到点 P（0，32）距离等于7的动点轨迹是圆x2+（y-32）2=7.

∵点P（0，32）到这个椭圆上的点的最远距离是7，∴椭圆x2+4y2=4b2内切于圆x2+（y-32）2=7.联立方程x2+4y2=4b2和x2+（y-32）2=7得关于y的一元二次方程12y2+12y+19-16b2=0，由Δ=0得b=1，又a=2，∴椭圆方程是x24+y2=1.

解方程x24+y2=1和x2+（y-32）2=7组成的方程组，得x=3，y=-12或x=-3，y=-12，∴椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标是（3，-12）和（-3，-12）.

二、圆的第二种形成方式

追本溯源，普通高中课程标准实验教科书数学必修2第124页习题：已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为12，求点M的轨迹方程.经研究得点M的轨迹方程是（x+1）2+y2=4，轨迹是圆.

推广：平面内到两定点A，B的距离之比为正数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆.与椭圆、双曲线的第二定义类似，我们把“平面内到两个定点的距离之比为正数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”叫作圆的第二定义.

例3 （安徽省合肥市2020届高三调研性检测题）设直线l：x-3y+m=0上存在点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，则实数m的取值范围为

.

解 设点P的坐标为（x，y），则（x-3）2+y2x2+y2=2，化简整理得：（x+1）2+y2=4，所以满足此条件的点P轨迹是圆.又点P在直线l上，所以直线l和圆（x+1）2+y2=4有公共点，圆心到直线的距离小于或等于半径，即|-1-3×0+m|2≤2，解得：-3≤m≤5，所以实数m的取值范围为-3，5.

例4 在△ABC中，BC=2，ACAB=2，则△ABC面积的最大值为

.

解 建立直角坐标系xOy，使得B、C两点的坐标分别为（-1，0）和（1，0）.设A点坐标为（x，y），则（x-1）2+y2（x+1）2+y2=2，即（x+3）2+y2=8.又y≠0，所以点A的轨迹是以（-3，0）为圆心，半径为22的圆（除去与x轴的两个交点）.当点A在x轴上方最高点或x轴下方最低点时，△ABC面积最大，最大面积为22.

三、圆的第三种形成方式

平面内对定线段所张的角为θ（θ为常数且0<θ<π）或它的补角π-θ的动点轨迹是圆（除去线段两端点）.

例5 （智学网试题改编 ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=（cosA，cosB），n=（a，2c-b）且m∥n.

（1）求角A的大小;

（2）若△ABC是锐角三角形，a=23，求△ABC 面积S的取值范围.

解  （1）∵m∥n.

∴acos B-（2c-b）cos A=0.

在△ABC中，acosB+bcosA=c，

∴c-2ccosA=0，

∴cos A= 12.又0

（2）∵a=23，A=π3，

∴点A在以BC为弦，所对圆周角为π3的圆弧上运动.

设P是圆弧的中点，A1、A2是圆弧上两点，且∠A1BC=∠A2CB=π2.∵△ABC是锐角三角形， ∴点A在圆弧A1PA2（不含A1、A2两点）上运动，不难求得△PBC的面积等于33，△A1BC和△A2CB面积相等均为23，∴△ABC 面积S的取值范围为（23，33＼].

例6 设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴为A1A2，若椭圆C上存在点P使得∠A1PA2=120°，求此椭圆离心率e的取值范围.

解 根据椭圆的对称性，不妨设点P在x轴的上方. ∵∠A1PA2=120°，可知点P又在以A1A2为弦，所对圆周角为120°的圆弧上，此圆弧所在圆的圆心为（0，-33a），半径为233 a，方程为x2+（y+33a）2=43a2.由椭圆和圆的方程消去x，得关于y的一元二次方程c2b2y2-233ay=0，解得：y=0或y=23ab23c2，其中23ab23c2是椭圆与圆公共点P的纵坐标，∴23ab23c2≤b，∴e≥63.又e<1，∴此椭圆离心率e的取值范围是[63，1）.

以上各例我们是通过关注圆的三种形成方式，明确点在圆上，通过圆的方程或图形解决了问题;可见，增强意识，适时而用，切入解题，简化思维过程，收到很好的效果.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书数学必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[责任编辑：李 璟]