探夹角之谜 究几何本质

芦迪 吴凯

摘 要：当我们在遇到难题时，怎样才能做到化繁为简，我们需要从不同的角度来探究，尤其是平面向量问题，我们可以分别从代数和几何两个角度来研究解题.对于同一个问题，角度不同，就会有不一样的精彩.本文将对一道平面向量恒成立问题的解法进行再思考，探寻“夹角”之谜.

关键词：平面向量;恒成立问题;代数运算;几何意义;夹角;解题方法

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0040-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：芦迪（1984.7-），男，浙江省萧山人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

吴凯（1984.6-），男，浙江省长兴人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

近日，笔者遇到一道平面向量恒成立问题，分别从代数和几何两个角度进行了探究，试着寻找其有效的解题方法.

例题 设单位向量e1，e2对任意实数λ都有e1+12e2≤e1+λ2e2，则向量e1，e2的夹角为

.

角度一 我们先不妨尝试代数化运算，先设e1与e2的夹角为θ，则e1+12e22≤e1+λ2e22，即e12+e1·e2+14e22≤e12+λe1·e2+λ24e22对于λ恒成立，即cosθ+14≤λcosθ+λ24 ①对于λ恒成立.此时，我们可以将①式看作关于实数λ的一元二次不等式恒成立问题，即λ2+（4cosθ）λ-4cosθ-1≥0对于λ恒成立，只需Δ=（4cosθ）2-4（-4cosθ-1）≤0 即可，整理可得4cos2θ+4cosθ+1≤0，即（2cosθ+1）2≤0，再由（2cosθ+1）2≥0可得（2cosθ+1）2=0，故cosθ=-12.又∵θ∈[0，π]∴θ=2π3.

本解法关键的突破口是将向量模的不等式问题平方转化为二次函数恒成立问题，由二次函数的性质可得答案，用换元思想解题是本解法最为灵巧之处，真可谓“化腐朽为神奇”，化难为易.但是，这样的纯代数运算运算量较大，对多数学生来讲还是有一定难度的.

角度二 我们能否从几何角度来分析问题呢？

那么，我们就要试着去寻找问题的本源.我们可以考虑“平面向量加法的几何意义”是什么，如图1，e1+λ2e2即是以e1与λ2e2为邻边的平行四边形的对角线的长度，而λ2e2则是e2的一个共线向量，即若λ≥0方向相同，若λ<0方向相反.

那么，我们如何才能利用几何意义来寻找所求夹角呢？

“试探夹角之谜”：不妨先以60度为例，如图2作出直线l1，l2为一组平行线，和向量OP的起点即为O点，而终点P将在l2上，所以，OPmin即为两平行线间的垂直距离.而已知条件“e1+12e2≤e1+λ2e2对于λ恒成立”也即当λ=1时，e1+λ2e2取到最小值，此时（如图3），λ显然应该是一个负数，是不满足题意的！

我们通过以上特例的分析，那么如何才能找到满足题意的夹角呢？

我们需要利用轨迹思想，探寻夹角.

再思考：如何体现“12为最小”的几何意义呢？

如图4，在单位圆O中，令e1=（1，0），A（1，0），将e1的起点设为O，则A为e1的终点，将12e2的起点设为A，终点设为B，由向量加法的三角形法则，即将e1与12e2两个向量的首尾相连，则点B的轨迹就是以A为圆心，半径为12的一个圆，记为⊙A，则OB=e1+12e2.

考虑到当λ=1时，e1+λ2e2应为最小值，即AB所在直线为l2，则须满足OB⊥AB，那么，再以OA为直径作圆为⊙C，则⊙A与⊙C的公共点P即为所求（如图5），此时夹角θ为∠xAP，我们易知P（32，32）或P（32，-32），则∠OAB=60°，则θ=120°.

有了前面的探究与分析之后，我们就不难将以上几何方法简化为以下过程：

这样就可以快速找到答案了.通过两个角度的分析，我們就将解法从原来的代数化运算，逐步过渡到了如图6的简图解法，实现了解法的优化过程.

然后，笔者将例题进行了适当的改编，有了以下2个变式演练，供读者尝试解答.

变式演练1 设单位向量e1，e2对任意实数λ都有e1+12e2≤e1-λe2，则向量e1，e2的夹角为

. 答案：120°

变式演练2   设单位向量e1，e2对任意实数λ都有e1-12e2≤e1+λe2，则向量e1，e2的夹角为

. 答案：60°

参考文献：

[1]施丽娟.重视变式教学 提升数学能力[J].高中数学教与学，2014（24）：32-33.

[责任编辑：李 璟]