数形结合在小学数学课堂教学中的探索

2020-09-10石艳平尚小舟

佳木斯职业学院学报 2020年6期

石艳平尚小舟

摘要：“数”和“形”是小学数学两大基本的学习内容。通过《几何原本》中的“几何代数法”到当今小学数学数形结合专题案例，发现数形结合的思想方法可以帮助小学生更好地理解数的运算法则、探寻和进一步说明数的规律，深悟某些经典问题的解题方法。

关键词：数形结合；小学数学；数的规律；几何直观

中国分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-9052（2020）06-0102-02

“数”和“形”是数学学习的主要内容，两者有着紧密的联系。数形结合一直是数学研究的一个热点，从研究成果看，大多数是围绕数形结合思想方法、内涵的研究[1]；或是围绕小学生数形结合思想的培养[2]；或是围绕数形结合思想方法在小学数学某个知识内容教学中的渗透[3-5]。美国数学教育家Wilkins认为数学教育的目标之一是理解数学的现状和历史发展。上海市静安区教育学院曹培英老师提出以数形结合为主题的教学，具有相当大的潜在发展空间[6]，这对本文的撰写有很大的启示。

一、《几何原本》中的“几何代数法”

1607年，中国数学家徐光启和西方传教士利玛窦（Matteo Ricci）根据克拉维乌斯的《欧几里得原本十五卷》翻译成《几何原本》[7]。第二篇突出内容是对几何代数法的贡献[8]。当时因希腊人不承认存在无理数，因此所有有关度量的长度、面积、角度和体积都不能从数量上处理，只能用线段来代替。如矩形的面积表示矩形两边长度的两数乘积，三数的乘积便是体积。第二篇的几个命题从几何上处理了对应等价的代数问题。命题1：如果有两条线段，其中一条被割成任意几段，则两条线段所夹的矩形等于各个小段和未截的那条线段所夹的矩形之和[9]。用现在的记法是a（b + c + d + …）= ab + ac + ad + …。

看起来是当时希腊人没有无理数概念而寻求他法，但它已然开启了数形结合思想方法的先河。

二、巧用数形结合，加深数学理解

（一）利用图形表征理解数的运算

让学生根据图形明白4表示什么含义（边长为2的正方形面积）。从等式角度学生很容易理解1 + 3 = 2×2，从图形上看学生能表述为：1个边长为1的正方形和3个边长为1正方形组成边长为2的正方形。以此类推1 + 3 + 5 = 9，进一步体会边长3正好是等式左边连续奇数的个数。教师放手让学生独立完成1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5×5的图形表示，说出等式中数的含义，进一步验证了刚才发现的规律。此时学生不难理解：从1开始，n个连续奇数的和就是n2。学生通过用观察直观图形来解释和说明等式的含义，可增强对数学等式的深刻理解。

（二）借助《几何原本》中对整数乘法的几何方法，解释乘法的运算定律

（三）用数形结合的方法，巧解经典数学问题

鸡兔同笼问题已经被很多数学研究者用多种解法诠释它。主流的解法有假设法、抬脚法、画图法、列表法、列方程等。其中假设法是很常用，而且不受数据大小影响的方法，但相当一部分小学生在初学时对这种方法总是悟不透。我们如果用面积来代表鸡或兔脚的数量，传统的假设法会是怎样呢？以下题为例：

现有头35个，脚共94只，问鸡兔各几只？用假设法解之，往往有很多学生对“假设全是兔，解出来的是鸡的数量”难以理解。现在结合几何图形，假设全是兔，在图5中，最大矩形的面积表示35只兔子脚的数量，即35×4 = 140（只）。用140 - 94 = 46（只），即虚线表示的矩形面积，它的代数含义是表示假设全是兔后比实际多出来的46只脚。因为一只兔比一只鸡多2只脚，46÷2 = 23（只），如果虚线矩形的一边长为2，则另一边长就是23，即有23只鸡，自然得到有12只兔了。结合图形的面積理解用假设法解鸡兔同笼问题，增强几何直观，解题思路在几何意义的帮助下更清晰，更透彻。