例谈变式训练在高中数学解题中的运用

杨海峰

摘 要：变式训练在高中解题练习中有着重要的意义。学生通过变式训练可以发现数学问题的本质属性，并掌握相应的解题规律与解题方法，更好地理解抽象的数学知识，促进自身解题能力与逻辑推理能力的提升，并逐渐养成多样化的解题思维。本文通过教学案例就变式训练在高中解题练习中的应用进行了论述。

關键词：变式训练;高中解题;应用例谈

变式训练在高中解题练习中有着重要的意义。学生通过变式训练可以发现数学问题的本质属性，并掌握相应的解题规律与解题方法，更好地理解抽象的数学知识，促进自身解题能力与逻辑推理能力的提升，并逐渐养成多样化的解题思维。

一、导言

变式训练是一种思维训练的有效模式，它是由利用构造一系列变式的方法来创设暴露思维障碍的情境，并展示解决问题的思维过程，数学问题的结构和演变过程以及知识发生、发展过程。在我们高中数学的学习中，不少学生都存在着学习数学公式定理时觉得简单，解答标准题型时也能游刃有余，但是当标准题型变换了形式却往往不知该从哪里下手。这种现象的本质在于学生并没有把自身所学的数学知识融会贯通。因此，在高中数学教学中，教师有必要对学生进行变式训练，通过改变问题和题设等方式来向学生展示问题的解题思路以及知识的形成和发展过程。学生们通过变式训练可以实现更高层次的发现，在进行探究性的活动时也能够灵活运用已有的数学知识，从而认识问题的本质，并进一步认识变化中的不变关系。变式训练的主要作用在于培养学生发散、迁移知识的能力以及凝聚学生的注意力。变式训练可以让不同的学生在数学中都能得到不同的发展，它通过不同层次与不同难度来使学习能力处于不同数学阶段的学生都各有所得，激发学生的学习热情并使学生感受到成功的乐趣。

二、数学解题中变式训练的运用案例

变式题的本质在于增加对标准题的干扰因素，并要求学生在求解时再转化为标准题的模式，从而还原问题的本质并逐步摆脱干扰因素。变式训练在高中数学解题中的运用主要有以下三大类：

（一）表述改变而本质不变

学生在解题时遇到阻碍的根本原因在于不知道题目考察的是哪一个知识点，无法把握题目的本质，因此无法顺利解答题目。所以，在对学生进行变式训练时，可以不改变题目本质的情况下，尽可能多方位地改变题目表述的方式，从而帮助学生更快、更好地把握题目的本质，尽快找出问题解决的突破口，从而迅速解决问题。

例一：经过点A（-3，0）和点B（3，0）的动点P与AB两点组成的∠APB为直角，求动点P的轨迹方程。

例一是一个标准题型，我们对题目进行分析，就可以发现例一的本质在于求圆的方程。有些学生无法准确把握此类题的本质，为了提高这些同学探寻此类题目本质的能力，教师就可以对这个题目进行如下几种变式：

变式一：已知A、B两点的坐标分别是（-3，0）和（3，0），动点P与两点连成的直线PA与PB相互垂直，求点P的轨迹方程。

变式二：动直线L1经过固定点A（-3，0），而动直线L2经过固定点B（3，0），L1⊥L2，求垂足P点的轨迹方程。

变式一与变式二和例一的问题本质是一样的，只是表述方式有所改变。通过这样的变式训练，可以提高学生的数学思维能力，帮助学生快速把握到此类题目的本质，从而顺利的解决此类问题。

（二）问题改变而题设不变

在高中数学的解题训练中，为了开拓学生的思维，引导学生从不同的角度解决问题、分析问题，教师对学生进行变式训练时还可以变化题目的问题而不改变题设来提高学生的解题能力。在实际的变式训练中，教师可以通过这种变式方法，引导学生对此类题目进行深入分析，适当增加问题的难度，对原题目进行变式，从而掌握此类题相应的解题思路，并归纳解决此类问题的方法。

例二：P是椭圆=25上的一点，且P点与椭圆两个焦点的连线互相垂直，求P点的轨迹方程。

针对此类比较常见的与椭圆相关的题型，教师可以对其进行一定的变形，从而开拓学生的思维。

变式一：椭圆=25上的两个焦点分别是A和B，点P是椭圆上的一点，当线段PA与PB形成一个钝角（或锐角）时，求点P的取值范围。

例二经过这样的变式练习之后，虽然题设并没有改变，但是问题的深度却增加了很多，教师就可以根据常见的直角求解方法，引导学生发散自己的思维，解答在钝角或锐角情况下点P的取值范围，从而有效的培养学生的思维能力。

（三）同时改变问题与题设

在对学生进行变式的过程中，教师可以进一步的增加变式的难度。对于题目给定的知识点，教师可以在改变题设的同时，也对问题进行一定的调整。我们以例三及其变式来对同时改变问题与题设的变式训练进行说明。

例三：已知椭圆方程为=1，点A是椭圆上的一点，且点A与F1及F2两个焦点形成的连线构成直角，求点A的取值范围。

变式一：已经双曲线方程为=1，双曲线上存在一个点A，使得点A与两焦点形成的直线相互构成直角，求点A与X轴的垂直距离。

例三的变式同时改变了问题与题设，使得学生的潜力进一步发挥出来，大大提高了学生的数学思维分析能力。教师通过此类形式的变式训练可以培养学生的探究能力，改变学生的思维定势，从而提高学生的数学解题能力。

三、结语

高中数学的知识大多数都是系统性的，因此，很多问题和题设也都具有同源性。教师在利用变式训练来培养学生的解题能力时，要多搜集变式的题源，优化教学设计，有意识的引导学生变化中探究不变的本质，在不变的本质中发现变化的规律，从而激发学生的数学学习兴趣，使学生体会到数学学习的乐趣，并充分体现出新课程的教学理念，提升学生的思维能力，挖掘学生的潜能，培养学生的创新能力。

参考文献

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