新课程高考数学复习的“真理”、现实与对策

真理A：数学学科复习的最大意义在于增加“固定部分”

数学复习对应出口（即高考成绩）造就的成果，可以分為“固定部分”和“浮动部分”。所谓固定部分，指的是那些考生学的特别通透而清晰、体现在结果（解题）上顺畅程度较高的章节或专题，简而言之，就是考生对高考数学“心里很有底”的部分，只要考，就有大概率拿（满）分;所谓“浮动部分”，指的是那些考生学的似懂非懂、体现在结果上（解题）得分或然性较强的章节或专题，也就是考生对考试“心里没底”的部分，所以“浮动部分”实则可以简称为“运气部分”。对于某次特定的考试，特定考生的成绩一定有浮动部分（运气）的存在，但最主要的影响因素一定是“固定部分”（近似于统计学中的数学期望）。

真理B：数学作为形式科学，对与错界限清晰

很多人曾经对数学做出过“自然科学”的定性，实际情况是：数学是形式科学。这意味着数学的概念、公式、定理均是绝对正确和毋庸置疑的，形式科学是逻辑和先验方法的科学，任何经验性的判断均对它的有效性不构成实质性影响。例如，很多考生担心类似“数形结合”、“反证法”等在高考判卷中会遇到不公平对待，这种担心完全是多余的，依据数学的学科本质，判卷环节中，给考生作答赋分的最主要两个衡量标准——一是结果正确（计算无误）、二是逻辑清晰（言之有理）。对数学学科本质的理解，是学好数学的前提，也是数学学习的价值能否应用在除数学学习领域之外的核心前提。

真理C：高考命题更偏向深刻性而非复杂程度

这是全国卷命题和其它试题命题的重要差别。众所周知，高考的核心功能是通过分数实现人才选拔，因此，在大样本的前提下，高得分考生和低得分考生的核心差别也应是国家人才选拔标准的体现。如果把解答数学试题的必备要素形象地分为“技术工种”和“熟练工种”，“技术工种”决定或影响了考生“会不会做”，“熟练工种”决定或影响了考生“能否算对”，那么以现在的时代背景，很显然思考或理解的深度比计算的熟练程度更加重要。成功解答复杂程度较高（题目文字量大、条件较多、解题步骤繁琐等）的试题，当然能说明考生潜在的底蕴深厚或能力较强，但也很容易误伤了很多对数学有深刻理解或是创新思维发达的人才。相比之下，偏重深刻性（知识本质、数理逻辑、数学思想等）的试题，则更能公平地选拔出符合时代背景要求的人才。

现实A：很多考生经历着“形式大于意义”的复习

数学学科复习最高效的过程应是“用少数资源引导感性认识（初识现象）、用适量资源滋生理性认识（理解本质）、用适量资源巩固理性认识（见多识广）”。纵观诸多考生复习数学的实际过程，每一轮复习都相当于在以不同的速度做题，所谓的“知识总结”太过急促，所谓的“专题总结”太过形式与表面，并未出现足够的理性认识（数理逻辑层面或是操作体验中“通性通法”的层面）。尽管足够的量变定能产生质变，但对于高考复习来讲（尤其针对全国卷命题特点的复习），如果复习模式与方法不得当，一年的时间相比能产生大面积质变的时间还是捉襟见肘不少，这也是为什么多数专家均不提倡用盲目的题海战术进行数学学科的复习。

现实B：很多考生的数学学习以“听懂看懂”为衡量标准

尽管近年的高考数学在难度上有明显的下降趋势，但多数学校对复习并没有降低要求，依然和之前的年份大同小异。对2019年全国二卷的高考数学试题，绝大多数考生大呼难度大，但在很多专家眼中则并没有那么夸张，究其原因，和考生对“形式创新”（而非内在创新）的适应能力降低是有直接关系的。对于平时习惯了以“听懂看懂”为学习合格与否的衡量标准的考生来说，试题的形式和内容是考生记忆的核心对象。相比之下，善于深度思考和对知识理解深刻的考生，则以提炼的数理逻辑和数学思维等作为试题的存储方式，这种考生也更具灵活驾驭“形式创新”的能力。

现实C：很多考生刷过的（大）部分试卷是远离高考的

成熟的科技界中，“标准（化）”是必不可少的核心概念，高考命题（尤其数学这种偏理科的科目）中，“标准化”落实的越扎实，就越有利于公平测试与有效选拔。基于以上原因可知，高考数学命题，命制的整卷是标准化的“产品”，例如，命题双向细目表的制定与落实和大样本分层抽样实测，都是完整命题过程的必要环节。相比之下，很多非高考实考的试卷，例如模拟考试卷、习题册中的套卷等，命题的主观性相对较强（主观臆断的因素较多），里面很多题目（尤其难度较大的题目）的命制背后，多为打造“艺术品”而非打造标准化的“产品”。

策略A：坚持“专题优于套卷”的大原则

专题与套卷的对比，实则是单项与综合的对比。在高考数学中，所谓“综合”其实是个虚幻的概念，直接原因如下——组成高考数学全卷的二十余道试题，多数试题涉及的章节（或专题）都是单一的，即使少数题有一定的综合性（涉及多个章节的知识），也只是若干专题的拼盘。形成这一现象的根本原因，还得用“数学学科本质为形式科学”来解释，每个数理逻辑都能独立存在或者被单独诠释。所以，如果所有专题都学的特别明白，综合起来也一定如鱼得水。换句话说，依据数学素质与能力的养成机理，铸就理想分数的最高效方法，并不是靠“综合”练“综合”这一看起来很对应的方式，而是靠“专题”练“综合”这一更符合数学认知机理的方式。

策略B：形成正确的思维方式和认知习惯并使之常态化

几乎所有的高考数学试题都是某个或某些数理逻辑的现象级表现，所以对待数学试题正确的思维方式以及对学习成果的存储方式绝不是就题论题，而应是注重从现象到本质的思考与同一逻辑的不同解释（即“一题多解”）。例如，《函数》章节里“函数产生到应用遵循的特殊一般特殊规律”、《数列》章节里“由递推关系到通项公式”、《解析几何》章节里“坐标轮换式的表现与应用”这几项数理逻辑来说，就有很多考生在高中阶段一直理解的不足够深刻，导致面对不同表象同一本质的问题会有不一样的反应。坚持正确的思维方式还需很注重独立思考，对自己的想法要持“保护”的状态（在独立思考之前尽量不要看答案或者直接听讲）。

策略C：用大数据辅佐数学复习资源的遴选

既然复习备考的目标是高考，则最符合高考标准的试题即为优质的备考资源。然而，选择优质的备考资源是很多希望打造数学好成绩的考生容易忽略的问题，毕竟高考真题的资源是有限的。如何判断备考资源是否优质，看（基于大样本的）试题数据统计便是最直观有效的手段。其中，难度较低的试题只要符合“数学课程标准”与“考试大纲”即可，难度较高的试题最好兼具较高的区分度（选拔性）。另外，高考数学难题的题面往往都是非常简洁的（靠内在逻辑彰显深度）。随着大数据技术不断走向深入，对数学试题的属性标定和对学生作答情况的数据统计也会越来越详实而科学，考生可有效利用的资源也会日臻丰富。

作者简介：孙焕彦（1983.7—），男，汉族，籍贯：辽宁沈阳人，工作单位：长春博大教育集团，硕士学位，专业：科学技术哲学，研究方向：数学哲学