巧用“裂项”构造导数定义求不定式极限

纪定春

摘 要：导数是高中数学的核心概念，在高考数学中具有广泛而重要的应用价值.通过“裂项”构造导数定义，对近年高考数学中出现的求“不定式”极限试题进行解析与评注.

关键词：高考数学;不定式极限;导数定义;裂项

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0002-03

一、导数定义与不定式极限简介

导数是高中重要的知识模块，是高中数学学习的重点和难点.目前，大部分高中数学教师并不重视对数学概念的教学，正如章建跃先生所讲：“当下的概念课教学多是一种走‘形式化’的过程，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍.”不仅仅是数学概念的教学已经“形式化”，而是对数学本质的学习已大幅度削弱，如對数学中的定义、定理、命题、推理等的学习.大部分的数学教学都是知识讲解与解题训练相结合，这对短期内提升学生学习成绩是有意义的，但是从长远来看，势必会严重阻碍学生数学思维的发展，应该值得深思.接下来，将对导数的定义和不定式极限作简单的介绍.

导数定义 设函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率为

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

则称它是函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作y=f ′（x0），即

f ′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

这就是函数定义在点x=x0处的导数.

不定式极限 若函数f和g满足：

（1）当limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0;（2）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=∞.

求（1）或（2）中limx→x0f（x）g（x）极限，或可化为上述极限的，简称不定式极限.

注意 可以将x→x0换成x→x+0、x→x-0、x→±∞、x→∞，都是不定式极限，此处不再给出.

二、巧用“裂项”构造导数定义求不定式极限

1.含参数恒成立问题

例1 （2016年四川高考理科卷第21题）设函数

f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（1）略;

（2）确定a的所有可能取值，使得f（x）>1x-e1-x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）.

解析 问题（1）解答，略.

对问题（2），求f（x）>1x-e1-x在区间（1，+∞）恒成立时，a的取值范围，等价求ax2-a-lnx>1x-e1-x在区间（1，+∞）恒成立时，a的取值范围.

分离参数，可得a>x-1-e1-x+lnxx2-1.令g（x）=x-1-e1-x+lnxx2-1，要使得不等式在区间（1，+∞）恒成立，则需要a>g（x）max.

利用导数，可以研究函数g（x）的单调性和最值（极值）点，可得函数g（x）在区间（1，+∞）内单调递减，故g（x）max=limx→1+g（x）=limx→1+x-1-e1-x+lnxx2-1.

因为limx→1+（x2-1）=0，limx→1+（x-1-e1-x+lnx）=0，所以该极限为不定式极限，此处考虑使用“裂项”法.

因为1x2-1=12（1x-1-1x+1），所以

limx→1+x-1-e1-x+lnxx2-1=12limx→1+（x-1-e1-x+lnxx-1-x-1-e1-x+lnxx+1）

=12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1-12limx→1+x-1-e1-x+lnxx+1.

显然12limx→1+x-1-e1-x+lnxx+1=02=0，

故limx→1+g（x）=12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1.

令h（x）=x-1-e1-x+lnx，显然h（1）=0.

则有12limx→1+x-1-e1-x+lnxx-1=12limx→1+h（x）-h（1）x-1.

由导数的定义可知，limx→1+g（x）=12limx→1+h′（x）=12.

于是a的取值范围为[12，+∞）.

评注 该方法是巧用“裂项”法，将极限为零的分式结构裂项，把原极限问题转化成正常极限和导数的定义，通过导数定义将分式结构极限问题专化成整式极限问题，利用导数定义作为桥梁，建立分式极限与整式极限之间的关系，充分体现了化归与转化思想.

2.求参数的最值问题

例2 （2015年北京高考数学理科卷第18题）已知函数f（x）=ln1+x1-x.

（1）略;（2）略;

（3）设实数k使得f（x）>k（x+x33）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解析 问题（1）、（2）解答，略.对问题（3），当x∈（0，1）时，有x+x33>0恒成立，考虑分离参数k.由f（x）>k（x+x33），得ln1+x1-x>k（x+x33）.

因为ln1+x1-x=ln（1+x）-ln（1-x），所以分离参数k，可得k<ln（1+x）-ln（1-x）x+3-1x3.

令g（x）=ln（1+x）-ln（1-x）x+3-1x3，利用导数可以研究函数g（x）在区间x∈（0，1）上的单调性，可得函数g（x）在区间x∈（0，1）上为单调递增函数.故k<g（x）min=limx→0+g（x）.

显然，limx→0+[ln（1+x）-ln（1-x）]=0，limx→0+（x+3-1x3）=0.可知该极限为一个不定式极限，此处考虑使用“裂项”法构造导数定义来解决.

因为1x+3-1x3=1x-xx2+3，

所以limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）-ln（1-x）（x+3-1x3）

=limx→0+（ln（1+x）-ln（1-x）x

-x[ln（1+x）-ln（1-x）]x2+3）.

显然，limx→0+x[ln（1+x）-ln（1-x）]x2+3=0，所以limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）-ln（1-x）x.

令函数h（x）=ln（1+x）-ln（1-x），则有h（0）=ln（1+0）-ln（1-0）=0.

所以limx→0+g（x）=limx→0+h（x）-h（0）x-0，该极限为函数h（x）在x=0处的导函数的定义.

故limx→0+g（x）=limx→0+h′（x）=h′（0）=2，即k的最大值为2.

评注 该方法巧用“裂项”法，将分母结构裂成两项之差，然后构造导数定义，把不定式（分式）极限问题转化成整式极限问题，展现了导数定义在求不定式极限问题中的重要作用和地位，充分地体现了化归与转化思想.

3.求参数的取值范围

例3 （2015年山东理科数学第21题）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）略;（2）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

解析 问题（1）解答，略.对于问题（2），对x>0，f（x）≥0成立，等价对任意x>0，ln（x+1）+a（x2-x）≥0恒成立.考虑分离参数a，则需分类讨论.

当x=1时，显然有ln2+a（1-1）=ln2≥0，即a∈R.

当0<x<1时，分离参数可得a≤ln（1+x）x（1-x）.

当x>1时，分离参数可得a≥ln（1+x）x（1-x）.

令g（x）=ln（1+x）x（1-x），原问题等价转化为求g（x）在0<x<1上的最小值与g（x）在x>1上的最大值.利用导数，可以研究函数g（x）的性质，可得函数g（x）在0<x<1上单调递增，故g（x）的最小值为limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）x（1-x）.

函数g（x）在x>1上单调递增，故g（x）的最大值为limx→+∞g（x）=limx→+∞ln（1+x）x（1-x）.

先研究g（x）的最小值.显然，limx→0+ln（1+x）=0，limx→0+x（1-x）=0，该极限为不定式极限，此处考虑使用“裂项”法构造导数定义解决.

因为1x（1-x）=1x-1x-1，

所以limx→0+ln（1+x）x（1-x）

=limx→0+（1x-1x-1）ln（1+x）

=limx→0+ln（1+x）x-limx→0+ln（1+x）x-1.

显然，可得limx→0+ln（1+x）x-1=0，

故limx→0+g（x）=limx→0+ln（1+x）x（1-x）=limx→0+ln（1+x）x.

令h（x）=ln（1+x），则h（0）=ln（1+0）=0.

即limx→0+ln（1+x）x=limx→0+h（x）-h（0）x-0=limx→0+h′（x）=1.

现在来看g（x）在x>1上的最大值，显然limx→+∞g（x）=limx→+∞ln（1+x）x（1-x）=0.

综上所述，参数a的取值范围为[0，1].

评注 该方法巧用分类参数法和“裂项”法，将一个不定式极限问题转化成可求极限的导数定义问题，降低了思维的难度，同时也说明高中数学教学要注重概念的教学.

例4 （2011年全国数学卷第21题）已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（1）略;

（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范围.

解析 问题（1）解答，略.对于问题（2），由问题（1）可知，a=1，b=1.

问题等价于当x>0，且x≠1时，lnxx+1+1x>lnxx-1+kx，求k的范围.

分离参数k，可得k<-2xlnx+x2-1x2-1.

令g（x）=-2xlnx+x2-1x2-1，可得k<g（x）min.利用导数研究函数g（x）性质，可知函数g（x）的最小值在x=1处取得，所以g（x）min=limx→1g（x）.

由limx→1（x2-1）=0，limx→1（-2xlnx+x2-1）=0，可知limx→1g（x）为不定式极限，此处考虑用“裂项”法构造导数定义解决.

由1x2-1=12（1x-1-1x+1），可得

limx→1g（x）=12limx→1（1x-1-1x+1）（-2xlnx+x2-1）

=12limx→1-2xlnx+x2-1x-1-12limx→1-2xlnx+x2-1x+1.

因为12limx→1-2xlnx+x2-1x+1=0，所以

limx→1g（x）=12limx→1-2xlnx+x2-1x-1.

令g（x）=-2xlnx+x2-1，可得g（1）=0.

limx→1g（x）=12limx→1g（x）-g（1）x-1

=12limx→1g′（x）=0.

综上所述，k的取值范围为（-∞，0].

评注 该方法先分离参数，再用“裂项”法将不定式极限转化成导数的定义，最后利用导数的定义将一个分式极限转化成整式极限.

李邦河院士在获得华罗庚数学奖的报告中就指出：“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧.”在一些难题、技巧上下功夫，是一种舍本逐末的做法.数学概念作为学生数学生长发育的细胞，是建构数学大厦的基础.数学概念的教学，是培养学生数学生长发育“干细胞”的教学，因此数学教学应该是注重数学概念的教学.导数的概念教学，要深度地剖析导数的定义内涵与外延、导数定义的构成要素、导数定义的结构等，让学生深刻地理解导数的几何意义与代数形式.

数学概念的教学应该是注重培养学生数学思维的教学，是数学方法、思想、精神的深度教学，而不是走“形式化”的解题教学.正如著名的数学家米山国臧所说：“纵然把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里.”数学知识是具体化的数学思想，数学思想方法是数学中的精华部分，掌握了数学的方法、思想和精神也就统领了数学知识.例如，在导数定义的教学过程中，应当让学生体会分割的思想、极限（逼近）的思想、整体到局部的思想、从特殊到一般的思想等，让学生的思维方式由静态向动态转变，感受无限的魅力，进而促进学生数学思维的发展.

參考文献：

[1]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报，2010，49（10）：25-29，33.

[2]李邦河.数的概念的发展[J].数学通报，2009，48（8）：1-3，9.

[3]米山国藏.数学精神、思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986.

[责任编辑：杨惠民]