例谈思维导图在解析几何习题教学中的应用

洪升

摘 要：《普通高中数学课程标准》提出，通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心.市一模考试后，笔者通过分析数据发现解析几何题得分率较低，不少学生对解析几何题的解答没有思路，也没有信心.针对这一情况，笔者通过一节试卷讲评课，利用思维导图的形式，帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，鼓励学生积极探讨，提高自信心。

关键词：思维导图、解析几何、习题教学

试卷讲评课是高三教学过程中常见且重要的课型，如何上好试卷讲评课是值得每一位教师尤其是高三教师深入思考的问题.高三年级的每一次考试，都在检查学生对知识的掌握情况，从而进行查缺补漏，而高三学年的时间尤其宝贵，作为教师，如何帮助学生在考试后查找问题，分析得失，并且有针对性地给出复习策略，是非常重要的一环.前段时间，学生参加了市里的第一次模拟考试，成绩揭晓，我便仔细分析班级学生的各题得分情况，以及各题与市均分的差额（我校是一所三星高中），其中解答题各題均分如下表.

从上表不能看出，除了第18题外，其余五个解答题得分与市均分相差甚小，其中第16题还高出两分.但是18题解析几何题的均分低了3分多，可以说明我班学生在解析几何题上的解答上存在较大问题，我也和一些学生交流过，学生对于解析几何题有较大的惧怕心理，怕计算量大很难算，还有怕没思路.至于计算方面问题，我们必须不怕困难，反复练习才能有所提高;而对于寻找解题思路的问题，关键在于学生的思维.除了平时多想问题多思考外，还要对相关题型有针对性的训练.于是我便针对此题上了一节试卷讲评课，现将课堂实录整理出来形成此文，不当之处，敬请指正.

一、试题重现

二、课堂实录

从学生的解答情况看，第（1）问学生解决情况很好，该问也属于送分题，3分.当然也有个别学生因为公式记错导致得零分，要引起重视.

由于课前已经让学生自我订正，从订正的情况来看，绝大多数人都能做对第（2）问的第①小问.我想请同学们说说考场上是怎么想的.

生1：因为要求k1k2的值，那就需要P、Q两点的坐标，又想到设而不求的方法，并注意到P、Q两点是关于原点对称的，所以设点P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），再利用斜率公式表示出k1k2，并借助P（x0，y0）点坐标满足椭圆方程，就可以求出答案.

师：很好.你的方法可以表示为：

设P（x0，y0）得Q（-x0，-y0）表示出k1k2求出答案.

生2：老师，我没想到设而不求，所以我用直线l的方程y=kx与椭圆方程联立，求出P、Q两点的坐标，然后求k1k2的值，但是计算过程比较麻烦.

师：虽然计算过程有些麻烦，但是联立方程组求交点也是很重要的一种方法.可以表示为：

联立直线与椭圆方程→求出P、Q两点的坐标（用k表示）表示出k1k2→求出答案.

同学们注意比较一下以上两种方法，可以看出设而不求在解决解析几何问题时，可以起到简化运算的效果.

生3：考试时间紧张，做完第（1）问后，没怎么想就觉得会很难做出来，就做其它题目了.

师：有的学生对做解析几何题没有信心，主要是因为平时缺少思考，也很少针对性去练习，计算能力不过关，对常用的方法总结不够等方面的原因.我们必须在后面学习中要多加练习.

对于第（2）问的第②小问，由于计算比较繁琐，考试时仅个别同学算出答案.但是同学们在经过自己订正后，能算出答案的明显增多.有同学能上讲台来说一下这一问的解题思路吗？

生4：联立直线PQ与椭圆方程→求出P、Q两点的坐标（用设而不求以及一元二次方程根与系数的关系处理）表示出k1k2→求出答案.（展示解答过程如下）

师：非常好！但是在利用结论时必须先给出证明.其实这个题目的很多方法，本质其实是选择适当的变量，表示出k1和k2，然后进行减元，最终消元求出答案.通过上面思维导图的形式，我们比较简单地理清解题思路，从而在解题时按照步骤逐一进行下去，但是值得注意的是，要想做出答案，仅有思路是不够的，解析几何题还重点考查同学们的计算能力，尤其是含有字母的计算能力，这种能力不是做一两个题目就可以提高的，必须要求同学们平时多多练习、反复训练、持之以恒、总结归纳，才会有所效果.所以请同学们课后针对上题按照上面的思维导图通过自己的计算，得出答案.

三、教学反思

解析几何作为高中数学教学的重要内容，在高考中占有较大的比重，但从模考的数据分析可以看出，学生在解析几何题上失分较多.究其原因，笔者认为，一方面学生不容易找到解题思路，更难找到最佳解法;另一方面，学生害怕计算，尤其是带有字母的计算，这方面能力较差;再则考试时间有限，因此要想拿到高分必定难上加难.为了提高得分率，首先应该建立学生做解析几何题的信心，为此课堂练习时找的题目相对容易些，并在上课是给足够的时间让学生独立思考，然后再讨论，并注意鼓励学生积极参与.

笔者近日在阅读徐荣豹教授编著的《数学教学设计原理的构建——教学生学会思考》一书，感触颇深.作为一线教师，教学生学生思考至关重要.学生会思考了，解题思路也就慢慢会有了.譬如说解析几何题，看到题目首先应该要分析题意，分析这个几何图形中有哪些定点，哪些动点？图形是怎么构成的？有哪些特征？如何选择合适的变量进行计算等等.这对我们解题思路的获得很有帮助，当然计算能力也是非常重要的，由于课堂时间较短，本节课让学生计算的时间不够，这确实是遗憾的，甚至是不对的，应该给更多的时间让学生在课堂上演算，从而发现学生计算中的问题，并及时指导纠正，这样效果应该会更好！