论初中二次函数中与面积有关问题的解题技巧

摘要：二次函数在初中数学中占有很重要的地位。近些年，二次函数问题是来菏泽市中考的热点，中考数学均在第25题考查了二次函数的题目，以二次函数为载体，把数的运算和证明与图形融合在一起，利用数形结合的思想，分类讨论的思想，较全面的考查学生数学运算、证明、观察、讨论与总结的数学能力。在初中阶段，考查二次函数的综合性问题中，常常会考与面积有关的问题，所以对二次函数中的面积问题的研究，对初中生来说是非常重要的。

关键词：初中数学;二次函数;面积问题;解题技巧

一、二次函数常见三角形的面积问题

1、特殊型：有一条边在坐标轴上或者有一条边平行于坐标轴

解题技巧：选择在坐标轴上的边或平行于坐标轴的边为底边以及对应高进行直接求面积。这类题目在中考中属于最简单的面积求解问题，多边形的面积往往通过割补法转化成特殊三角形，利用特殊三角形的面积相加减得到多边形的面积。

（1）求此抛物线的解析式

（2）点E是抛物线上的一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求

2、普通型：三边均不平行于坐標轴

解题技巧：普通型的三角形又称之为“半吊型”，解决“半吊型”三角形面积的解题方法有很多种，可以利用割补法、“铅锤高，水平宽”面积法和切线法，割补法解题过程较为繁琐，切线法要求知识综合性较强，一般学生不容易掌握，下面主要介绍利用“铅锤高，水平宽”面积法来求“半吊型”的三角形的面积。

如图2，过三角形的三个顶点分别作出铅直的直线，外侧两条直线之间的距离a叫三角形的水平距离，中间这条直线在三角形内部的线段的长度h叫三角形的铅锤高度。三角形面积的计算公式是=ah.

例题：（接上题）（3）若点P是抛物线的顶点坐标，求.

通过此例题可以发现面积问题实质上就是求线段的问题，线段问题转为点的坐标的问题。关于求平行于两坐标轴的线段的公式可以套用下面两个公式：①平行于x轴的线段=右边点的横坐标（x右）-左边点的横坐标（x左）②平行于y轴的线段=上面点的纵坐标（y上）-下面点的纵坐标（y下）

二、二次函数中面积的最值问题

从近些年的中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中经常出现，而且经常与二次函数相结合，下面结合上面介绍的“铅锤高，水平宽”面积法来叙述面积的最值问题的解题技巧。解决面积的最值问题关键还是表示出面积的函数表达式，根据自变量的范围，利用函数的性质来确定面积的最值问题。

例题：（接上题）（4）若点T是直线AB下方的抛物线上一动点，当点T运动到某一位置时，

解析：首先设T（t，t2+4t-5）利用“铅锤高，水平宽”面积法表示出的面积表达式，由二次函数的性质可知，t的取值范围时，当时，S有最大值，代入二次函数表达式中可得，且S最大值=。

结束语：

本文重点介绍了两种不同类型的三角形的面积的求法，主要叙述了“铅锤高，水平宽”面积法解二次函数中“半吊型”三角形问题，将几何问题转变为二次函数问题，利用函数在区间中的最值求三角形面积最大值。

参考文献：

[1]陈晶.探究二次函数中斜三角形的面积问题[J].试题与研究，2020（30）：22-23.

[2]区慧英.刍议自主学习模式下初中数学分层教学的实施——以《二次函数中三角形面积最值的问题》为例[J].中国多媒体与网络教学学报（下旬刊），2019（07）：244-245.

[3]于爱文，盛建武.专题复习要举一反三——以“二次函数的面积问题”教学为例[J].湖南教育（C版），2018（08）：54-56.

孙静 山东省菏泽市曹县第一初级中学