浅谈拉格朗日对数学的贡献

韩树新 何军 王钥 王炜卿

[摘 要]文章采用文献描述性研究法，介绍了拉格朗日的生平，总结拉格朗日对数学分析以及数值计算的贡献，拉格朗日在数学领域的成就。拉格朗日的研究不仅为后一代数学家们提供了素材和经验，也对我们当代的生活产生了重大影响。

[关键词]拉格朗日;数学分析;数值计算

[基金项目]2017年度河北经贸大学教学研究项目青年项目“将数学建模思想融入大学数学教学中的策略研究”（2017JYQ04）

[作者简介]韩树新（1963—），女，河北武强人，硕士，河北经贸大学数学与统计学学院教授，主要从事复分析研究;何 军（1966—），女，甘肃张掖人，学士，河北经贸大学助理研究员，主要从事企业管理研究;王炜卿（2001—），女，山东淄博人，山东女子学院会计学院财务管理专业本科生在读;王 钥（1987—），女，山东淄博人，博士，河北经贸大学数学与统计学学院副教授（通信作者），主要从事复分析研究。

[中图分类号] O11[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）32-0322-02[收稿日期] 2020-03-16

一、引言

拉格朗日是18至19世紀承前启后的数学大师，其地位仅次于欧拉。拉格朗日在数学方面的研究，对18世纪创立的数学分支贡献很大。近年来，一些学者对拉格朗日做了深入研究。田鹏研究拉格朗日的生平事迹[1]。王颖对拉格朗日中值定理进行了充分的分析和研究[2]。吴元泽对拉格朗日乘数法的几何意义进行了讨论[3]。师冰雪、李占松对工程计算中拉格朗日插值多项式的误差进行了评价[4]。M. V. Korobkov研究了拉格朗日中值定理对向量值映射情形的推广[5]。拉格朗日在数学领域的成就对我们现代生活产生了重要影响。本文介绍了拉格朗日的生平，总结了拉格朗日对数学的贡献，让大家对拉格朗日有更充分的了解。

二、拉格朗日的生平

拉格朗日1736年1月25日出生于意大利都灵。中学时，拉格朗日更爱好文学。渐渐地，在跟老师雷维里学习的过程中，拉格朗日发现了存在于几何学中的奥秘，并转而喜欢上了几何学。1753年，在读了有关牛顿微积分的介绍之后，拉格朗日的目光又停留在了数学分析上。从此，拉格朗日在科学的道路上不断攀登，越走越远，直至人生尽头。

1754年，18岁的拉格朗日取得了第一项研究成果，独自推导出了求两个函数乘积的高阶求导公式。拉格朗日写信将这一发现告知了欧拉，但莱布尼茨早在半个世纪前就得出了他的这项发现，他虽失落，但并没有放弃，继续进行研究。在数学研究生涯的初始阶段，经过小波折后，拉格朗日的思想转向了对变分法的研究。受欧拉变分法工作的启发，1754年，通过纯分析方法，拉格朗日对积分的极值问题进行了求解，将该方法告知了欧拉，欧拉对拉格朗日的想法非常支持。欧拉非常欣赏拉格朗日的天赋和才华，因此向柏林研究院推荐拉格朗日。由于拉格朗日自身的才华，他被任命为柏林研究院的院士。四年后，拉格朗日发表了有关变分法的论文，正是由于拉格朗日在变分法方面的重大贡献和奠定的重要基础，变分法才能够成为数学的一个分支得以发展。

拉格朗日十分注重对数论、方程论的研究，他证明了代数基本原理，对一般数值方程解进行了研究。在数论方面，1759年，拉格朗日求解佩尔方程失败后，于1766年，给出了佩尔方程整数解存在性的证明;1772年，他对由费马提出的四平方定理进行了证明，此外，在1773年，还对威尔逊定理进行了证明。

1783年，拉格朗日的妻子、腓特烈大帝相继去世，拉格朗日失去了感情和事业的两大支持者，决心换一个环境生活。于是，1786年，在路易十六的邀请下，拉格朗日赴巴黎科学院继续进行他的研究工作。

1795年，拉格朗日被任命为巴黎高等师范学校的数学教授，由此，拉格朗日的研究工作也正式重新开始，通过对他过去的数学研究进行整理，他相继出版了《解析函数论》和《函数计算讲义》两本著作。拿破仑把拉格朗日、拉普拉斯等自然科学家都吸收进了保守的参议院。1813年4月，拉格朗日被授予大十字勋章。但这时候的拉格朗日无法潜心研究，身体状况不佳，于4月中旬去世。

三、拉格朗日对数学分析的贡献

拉格朗日对数学分析的贡献非常大，比如拉格朗日中值定理，应用拉格朗日中值定理可以判断函数的单调性、有界性、一致连续性，证明等式、不等式，判断方程根的存在性，求极限，判断级数敛散性等。

拉格朗日对数学分析的另一个重要贡献是拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法能够对多元函数的极值进行求解，尤其是存在多个变量和限制条件的情况。在经济学中，凡是有约束条件的极值问题都可以用拉格朗日乘数法求解，而且约束最优化问题在经济学中占有重要的地位，所以拉格朗日乘数法在经济学中发挥着重要的作用。例如，效用最大化问题可转化为求在约束条件下效用函数的最大值问题，因此可用拉格朗日乘数法求解。此外还有成本最小化的问题也可以通过转化进行求解。

四、拉格朗日对数值计算的贡献

在科学研究和生产社会实践活动中，部分函数的具体解析式无法得知，对这部分函数，只能通过实验或观察的方式得到一些离散点的函数值。此外，还存在部分函数，虽然其具体的解析表达式是知道的，但表达式过于烦琐，要想分析和计算这些函数比较的困难，这时候就需要寻找一个合适的近似函数来代替原来的函数，而插值法就是这样一种寻求近似函数的方法。1795年，在拉格朗日出版的一本数学知识方面的著作中对插值法进行了简单的介绍，之后拉格朗日本人就和插值法联系在一起[6]（P65-66）。所以有了插值多项式、线性插值、抛物线插值、插值余项等。

由于拉格朗日插值法能够对具体的计算步骤和计算过程进行简化，因此其在工程中发挥着的重大的作用，而且随着计算机的普及，拉格朗日插值法已与matlab等软件结合起来，现已研究出了用拉格朗日插值法寻求近似函数的程序，大大方便了人们的计算。