错因分析见本质 合理教学促提高

周可

[摘 要]文章从六个方面分析初中生数学解题的过程中常见的出错原因，并基于这些原因进行相关思考，后给出改善学生数学解题能力的教学策略，旨在提高学生解题能力和数学思维品质。

[关键词]数学解题;错因分析;自我监控;数学焦虑

[作者简介]周 可（1985—），女，河南新蔡人，云南师范大学数学学院2019级学科数学专业硕士研究生，研究方向为数学教育。

[中图分类号] G622.41[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）32-0308-04[收稿日期] 2020-01-15

一、研究背景

解题是初中数学学习的重要组成部分，也是数学知识学以致用的具体体现。在数学学习中，有些学生常常把自己解题出错归结于自己计算粗心或审题不清;在数学教学中，有些教师通常会把学生解题出错原因归结于马虎粗心或基础不牢，并未深层次挖掘错因的本质。基于探求错因本质，笔者对初中生进行了深入访谈和观察，以此提出几点粗浅的想法与同行交流分享。

二、错因分析

（一）缺乏知识积累，无法形成知识网络

数学解题的实质是对有关数学知识经验的综合应用，学生已具备的数学知识经验与当前问题相关性越大，突破问题的可能性就越大。如果缺乏数学必备知识，解题就无从谈起。由于数学学科知识具有系统性、连贯性等特点，所以已学知识一旦出现漏洞没有及时填补，就会与后续知识断层。最终知识链断裂太多，知识网络缺失联结，导致积重难返，解题更加困难。但积累基础知识只是成功解题的前提之一，数学知识结构的不同也会影响问题解决。学生具备数学知识后，还需对知识进行合理重组建构，使知识具有空间结构化、系统化和网络化，才能长久记忆并在需要时快速有效地提取知识，加速问题解决。

案例1：已知，求x3y-xy3的值。

生1错解：审题后，直接求x3再和y相乘，再用同样方法求xy3，导致计算复杂，最终该生没有得到正确答案。

生2错解：认真观察题目后，发现x3y-xy3可以进行因式分解，得到x3y-xy3=xy（x+y）（x-y），易得问题答案。

问题分析：生1只是看到了x3y-xy3，就开始动笔操作，以为题目只考二次根式知识，并表明自己是会因式分解的，但想不到使用。生1在解题中无法对所学知识灵活地进行结构重组，迁移能力不够。生2是观察到x3y-xy3比较复杂，就先考虑有什么方法可以化简，前后联系已学知识，采用因式分解的方法解决问题，事半功倍。由此可见，知识是否结构化、系统化造成了不同学生在解题质量和解题效率上的差异。

（二）缺乏通性经验，无法应对变式

有些学生在解题时“一叶障目不见泰山”，无法透过现象看本质，把握不住问题内在本质规律，容易被题目表象变化所迷惑。题目稍加变式就看不出解题的通性通法，难以从条件的变化中探求解法不变的规律，导致思路受阻，解题困难。

案例2：已知，在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC边的中点，连接AD。求AD的取值范围。

学生错解：画出图形后，考虑利用“三角形两边之和大于第三边”这个性质来解决问题，但因BC的长度未知，问题卡壳，解题进行不下去。

问题分析：在本案例中，学生只联想到有关中线的概念性知识，缺乏解决此类题的基本思维经验即“倍长中线法”，辅助线作不出，解题思路受阻。在数学学习中，如果学生能积累解题的基本经验即通解通法，并将这些通法内化并正向迁移到自己的解题过程中，可以降低思维负荷，提高解题效率。

（三）缺乏认知能力，无法有效自我监控

解题中，通常会生成不止一条解题路径，故需要学生能及时运用元认知能力对自我操作进行适当监控和调节[1]（P321）。有些学生没有解题中进行自我监控的意识和习惯，思路不通时不能有条理地分析原因;解题后只关心答案是否正确，就题论题，不善于及时反思归纳解题思路出现偏差的深层原因。因此，要实现有效自我监控这一过程，需提醒学生注意以下三个环节：解题前，需仔细审题核对问题表征是否有误;解题中，需自我监控解题思路，及时调整解题策略;解题后，需及时反思，优化知识结构。

案例3：把根号外的因式移到根号内：

问题分析：学生在解题时，未注意运用二次根式定义判断x范围，导致运算符号出错。在听完教师讲解后，该生总结说在做此题时因忘记判断x的范围，导致对1-x的正负情况判断失误。五天之后，该生再次遇到变式问题（2），解法如下：

学生错解：

问题分析：据该生描述，自己在第一次出错后只是当时明白问题症结所在，并未及时反思整理错题，真正梳理错因总结方法，并未真正弄懂此题的本质规律。在解题错误第一次被更正后，没有及时去解决此类题暴露出的解题方法和相关知识点的问题，优化解题思路，故在第二次遇到同类题依然出错。

（四）缺乏宏观决策，无法流畅思维

访谈中了解到一些学生数学估算能力缺乏，难以快速检索出解题思路，缺乏解题的宏观决策。数学解题过程，就是在目標导向下选择适当的陈述性知识进而转成具体的操作程序，并通过小程序相互交叉组合最终凝聚成解题大程序的过程。在这个过程中，既有基于数学估算的宏观决策，又有基于数学精算的微观演绎。宏观决策的过程本质是把当前的问题状态与已有经验中的问题模式进行匹配选择的过程。如果学生无法从宏观视野中选择解决问题的基本方向，也就不能构建从问题起点到问题目标终点的确切思路，最终导致思维无法流畅进行。

案例4：已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a>0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧点B的坐标为（1，0），OC=3OB。

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值;

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由。

学生解法：对于第（1）问学生顺利找到了C点坐标（0，-3），接着把B、C坐标代入解析式求出了未知数a、c的值。

对于第（2）问，该生想到把四边形的面积分成两个三角形的面积之和去做，并很快求出了△ABC的面积，但对于△ACD的面积就无从下手，该生描述说找不到AD边的高，思考之后并未转换思路，最终放弃。对于第（3）问，该生粗略浏览题目，认为自己不会做就主动放弃了。

问题分析：该生表示自己在解题时，对二次函数问题本身心存恐惧，对于简单的问题还可以“按题索骥”，对于稍复杂题目不知道如何着手分析问题，更无法对问题解决方向做出宏观决策时，仍草草动笔。思维定式僵化，没有形成清晰的解题思维。

（五）缺乏细心审题，无法逃脱定势思维

多数学生认为自己解题中较大障碍就是审题不细心，题目分析不到位。导致审题不清的因素主要有以下两个：一是阅读能力弱。阅读能力较弱的学生对于题目较长的数学问题在语意理解上出现困难，无法分析出题目所给数量关系，找不到突破口。有些学生在读题时有时已知条件太多不知如何关联，还有些学生把重要条件信息漏读、错读，导致题意理解出现偏差。二是思维定式。部分学生粗略读完题目片面认为和以前所做习题相似，就主观臆断凭借记忆套用以往经验，草率动笔，最后可能会和问题方向背道而驰。

案例5：为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元。物价局规定每盒售价不得多于50元。根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒。

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式;

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

生1错解：

（1）y=700-20x

（2）P=（45-40+x）（700-20x）。

學生描述在做题时，误认为是提高的价钱。据学生反映之前老师练习这种题型太多了，自认为和之前一样没再仔细审题。最终，第二问连锁出错。

生2错解：

（1）y=700-20（x-45）=-20x+1600

（2）P=（-20x+1600）（x-40）=-20x2+1680x-64000

=-20（x-60）2+8000。

即时，P最大为8000元。

据该生描述，老师之前讲过的就是在顶点处取得最值，审题时没注意“每盒售价不得多于50元”这个条件的限制，导致最值求错。

问题分析：以上两位学生的解答过程，充分暴露了学生审题不清，思维固化的弱势。根据相似的问题情境，单凭主观臆断，没有深入理解题目中未知数的含义，简单地套用解题方法，导致问题出错。

（六）缺乏学习信心，无法避免数学焦虑

大多数学生解决数学问题时普遍存在数学焦虑，在解题过程中遇到难题就会出现不安、紧张、畏惧等焦虑状态，导致缺乏解题信心，认为自己在数学方面不擅长，不可能解决出来难题，缺乏尝试的勇气，主动放弃解题机会[2]（P143）。另有一些学生因过分关注解题结果导致心理压力比较大，在解决问题的过程中，突然出现思维真空，解题思路受阻，平时学得比较好的知识却怎么也想不起来，更有甚者把草稿纸上的答案都抄错。数学焦虑过多就会产生相应的负效应，在解题时会引发干扰性思维占用过多的认知资源，加重认知负荷，限制解题能力的正常发挥，影响解题策略的正确规划。

三、思考与建议

学生解题能力的提高遵循由低到高螺旋上升的规律，它需要教师在深层剖析学生错因的基础上，不断地反思教学方法、合理安排教学的过程中才能得以升华。针对以上六个方面的常见错因，笔者提出以下几点粗浅的建议和促进学生解题能力的措施。

（一）厚度教学，引领深度学习

深度学习是建立在深刻理解知识的基础之上，学生的深度学习是和教师的厚度教学是相互依存的。只有教师教学达到一定厚度，学生学习才能达到一定深度。教师可以通过深度理解教材、合理拓展开发教材，从学生已有知识经验出发合理创设问题情境、设计数学活动，激发学生主动探究的积极性。学生参与课堂的程度越深，对知识的理解就越深刻。通过引导学生整体参与学习，体验知识的生成、发展、应用，启发学生思维由感性上升到理性、由特殊上升到一般，由直观表象上升到抽象概括，促进学生形成高水平认知，最终达到深度理解目的。只有在深度理解知识的基础上，才能灵活迁移知识、运用知识解决问题。例如，在学习“相遇和追及问题”时，教师可以发动学生在课堂上实时演绎相遇过程和追及过程，学生通过“观察讨论，发现本质”找到等量关系、列出方程、解决问题。通过自身观察、感受、归纳得到的公式更易理解和运用，更易在解题中形成数学直觉，更能快速联想并提取有效知识解决问题。

（二）关注阅读，优化题目表征

正如波利亚所说：“对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。”事实上，阅读能力的强弱直接影响问题解决。阅读和审题是获得题目关键信息的关键环节，只有通过语义理解学生才能正确表征问题，明确解题目标[3]（P136）。依据波利亚的“怎样解题表”的理论[4]（P4），教师可以引导学生在解决问题时应该从题目的叙述开始，尽可能清晰、生动地使整个题目形象化。学生必须去理解该题目的语言陈述，从而理解题目、熟悉题目，并将目标印入脑海激发和题目相关记忆，为解题做好铺垫。例如，教师可以让学生尝试逐句分析题目已知条件及其背后的隐性信息，帮助学生整体正确表征题目，优化课堂教学。

（三）强化通性，注意变式巩固

教师可以通过对例题和习题进行归纳总结，分类整理出解决同一类问题的最合理、最基本、最常见的操作方法，即通性通法[5]。同时，注意适度地引导并训练学生理解运用这些数学方法，并在此基础上运用变式教学能够加深学生对数学方法、概念、原理的理解。可以从以下两个方向进行变式：①概念变式，促进深度理解。围绕概念的内涵和外延，多维度设计系列变式，引导学生全方位理解概念本质;②过程变式，促进通法掌握。提供有变化性条件解题练习，培养学生根据具体情境做出判断和规划的能力[6-7]。同时，在教学中渗透数学思想，引导学生透过现象看本质。但在教学中，我们还应注意避免不顾概念或原理的形成过程而进行的“题型+技巧”，避免让学生死记硬背模型或方法，避免把解题活动当成“刺激—反应”的条件反射过程，避免过度强调模型使学生对相关数学概念或原理产生“功能固着”和“思维定势”等情况出现。

（四）优化策略，注重自我监控

有些学生遇到难题时就跳过或不管正确与否把能写的都写出来，解题缺乏策略，针对这种情况教师可以训练学生对从以下过程进行调节。首先，在解题前要辨清题目类型。例如，分析题目是属于“代数”“函数”还是“几何图形”或是“图形变换”;然后，根据题型提取相关知识;接着，在制定和执行解题计划中，要明确解题目标，并不断监控解题过程是否达到预期目标，并做出相应调节;最后，反思解答过程、总结经验，并对问题进行归纳整理，以提高解题能力。此外，教师还应该提供有效的课堂反馈，在提供各种不同类型问题的练习后，对学生的操练结果给予积极评价，并给出标准解题示范，有助于学生及时调整自己的策略。

（五）表达数学，内化知识框架

让学生体验由“做数学”到“说数学”，在表达数学的过程中提升思维水平，减少思维盲目性[8]。学生在组织思路并将其可视化的过程中，就会不断思考问题、发散思路、优化解题方法。美国国家训练实验研究证实，不同的学习方式产生的学习效率完全不同。其中，学生学习后主动转教别人，学习吸收率高达90%。基于此，教师可以创设和谐民主的数学课堂，让学生愿意分享、交流、大声表达自己的观点。数学课堂由大量动笔练习，转向“动笔+动口”，多种练习模式协同促进学生建构知识框架，提高学生解决问题的速度。例如，鼓励学生表达自己解题的思路过程、鼓励学生互相讨论等，在课堂交流中内化知识、理解知识。

（六）设计活动，增强数学自信

新课标中提出“四基”，即“基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[9]（P9），而“基本活动经验”在学生学习数学中比较缺乏。在访谈中，有些学生因缺乏生活经验，导致不理解题意。例如，在遇到二次函数关于掷铁饼问题时，有些学生没有自身体验甚至铁饼运动是什么都不知道，就谈不上问题解决了[10-11]。笔者认为教师可以合理设计多种形式的数学实践活动，帮助学生体验数学、感受数学。多元化评价学生实践过程，多角度观察学生活动表现，培养学生的自我效能感，激发学生对数学的兴趣。

参考文献

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2017：321.

[2]周新林.教育神经科学视野中的数学教育创新[M].北京：教育科学出版社，2016：143.

[3]陈琦，刘儒德.教育心理学[M].北京：高等教育出版社，2011： 136.

[4]G·波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2019：4.

[5]卓斌.数学解题教学应让通解通法落地生根[J].数学通报， 2018，57（2）：45-49.

[6]鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究（再续）[J].数学教学，2003（3）：6-12.

[7]孙孜.变式教学应注意的几个问题[J].教育实践与研究（中学版），2009（6）：37-39.

[8]张洪魏.关于学生数学认知理解的思考[J].数学教育学报， 2006（4）：14-16.

[9]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[10]楊晓琪.初二数学学优生与学差生问题解决差异的个案研究[D].重庆：重庆师范大学，2013.

[11]郭源源.追根溯源析错因 诊断反思促教学—从学生解题的几处常见错误谈起[J].中国数学教育，2019（Z3）：57-61.