Delta并联分拣机器人的运动学分析及仿真

李佳玉， 彭见辉， 方永龄

（东莞理工学院城市学院，广东 东莞523419）

0 引 言

并联机构的概念于1931年在Gwinnett的申请专利中首次提出[1]；澳大利亚学者Hunt[2]于1978年第一次将这种与人体结构相似的并联机构命名为并联机器人，由此并联机器人正式从并联机构中衍生出来[3]。此后，并联机器人成为越来越多的专家学者在机器人领域研究的重点，结构形态各异、用途各不相同的并联机器人相继问世。国内第一台六自由度并联机器人在1991年诞生于燕山大学[4]，随后黄真教授编写了国内首部并联机器人相关理论与技术的著作，由此开启了国内对于并联机器人的研究。1985年，瑞士学者Clavel[5]首次提出了一种非常典型的空间三自由度并联机器人，被命名为Delta机器人，该机器人拥有三个平动的自由度，此后绝大多数的空间三自由度并联机构均是由Delta机器人演变得到的。

随着控制技术的不断发展，并联机器人被广泛应用于航空模拟仿真器、不同类型的工业分拣、搬运等领域。

1 并联机器人的机械结构设计

本文以典型的3-RSS型Delta并联机器人为研究对象，其结构主要包括上部静平台、下部动平台、3个主动臂、3个由平行四边形组成的从动臂、驱动电动机，具体结构如图1所示。

图1 Delta并联机器人结构图

上部静平台的三边与下部动平台的三边通过三个相同的运动链连接，其中一个运动链的组成如下：驱动电动机通过法兰盘安装在上部静平台，驱动电动机输出端与主动臂大端相连，主动臂小端与从动臂（由4个球铰链、4个杆件组成的平行四边形闭环组成）以转动副连接，从动臂的另一端与下部动平台以转动副相连。每条运动链在驱动电动机的带动下以一定角度摆动，在三条运动链的共同作用下，下部动平台即可达到不同的工作位置。

该并联机构具有局部冗余自由度，因构成从动臂的两个长杆两端均为球铰链，这两个长杆均可绕自身轴线转动，在计算并联机构自由度时应将从组成动臂的4个球铰链中的2个按虎克铰链计算，以消除局部自由度的影响。按照空间机构的自由度计算公示Kutzbach－Grubler[6]：

即该并联机构下部动平台具有3个自由度。

2 并联机器人工作位置分析

2.1 工作位置反解分析

本文针对并联机器人的工作位置反解问题进行研究，即已知下部动平台在某一空间固定位置时，求解3个驱动电动机的运动角度问题。

图2 Delta并联机器人的机构简图

根据Delta并联机器人的结构及工作过程，作出该其机构简图，如图2所示，其中上部静平台为B1B2B3，下部动平台为P1P2P3，B1E1P1、B2E2P2、B3E3P3为3条相同的运动链。分别在静、动平面建立以O为中心O-XYZ和O′为中心O′-X′Y′Z′的笛卡尔坐标系，上部静平面半径为Bi，下部动平面半径为Pi，主动臂的长度BiiEi为L，从动臂的长度EiPii为l，主动臂与竖直方向之间的角度为θ。

2.2 工作位置反解数例计算

按照以上推导过程及公式，若已知并联机器人的各种结构参数，即可根据动平台基准坐标系O′-X′Y′Z′的O′来通过反解来计算出主动臂与竖直方向之间的夹角θi。

将式（6）的方程解组Ai、Bi、Ci写出编程中，根据式（9）、式（10）得出结果。其结果再从MATLAB角度参数转化为几何角度参数。

已知静平面的半径R=240 mm，动平面的半径r=100 mm，主动臂长度为L=300 mm，从动臂长度为l=600 mm。而当动平面坐标系O′-X′Y′Z′的O′坐标相对于坐标系OXYZ到达一个位置为（30,30,-350），通过MATLAB仿真出反解答案：θ1=20.2154，θ2=15.0153，θ3=1.6598。

2.3 工作位置正解分析

为更好地对并联机构进行工作位置正解分析，在3条从动臂的上下两侧中点之间增加3根虚拟连杆，考虑到下部动平面只是平移而没有旋转，因此动平面平行于静平面，如图3所示。

3个从动杆PiiEi分别沿O′Pi平移，并交汇于动平台中心O′。当设定出驱动角度时，推动杆就会运动，因为已知推动杆长度L，因此知道Ei点所在位置。PiiEi的矢量和Ei所平移的点B、C、D就很容易得出。至此，正解的求法就演变成三棱椎A-BCD的顶点A的求取。

动平面的圆半径为r，则得出3个平移矢量O′P1、O′P2、O′P3坐标矢量由式（3）可得：

图3 运动学简化空间结构

表1 输入的张角

表2 输出A点的空间坐标

到此正解的求法就演变成三棱椎A-BCD的顶点A的求取问题。如图4所示，解决这一问题的过程，先求出A点到底面的垂足F，后求出垂线AF的矢量从而得出A点的坐标，BC边的中点为E。

第一步，推出F点为三角形BCD外心。假设F 点为三角形BCD外心，因为E点为BC中心，所以EF垂直BC。并且因为三角形ABC为等腰三角形，所 以AE 垂 直BC，AF垂直BC，AF垂直CD。因此AF垂直于整个底面BCD。

因为动静平面平行，所以得出

图4 等效运动学模型

知道了OF和FA大小，由式（13）就可求出A点坐标，即可得出位置正解所想要的结果。

2.4 工作位置正解数例计算

运用MATLAB仿真软件能快速求出结果，编正解程序，能快速验证空间结构是否正确。已知参数与2.3节中计算参数一致。解3个非线性方程的方程组，其计算结果如表1、表2所示。

3 并联机器人工作空间仿真

3.1 蒙特卡洛法

1）在MATLAB仿真软件中，函数rand可定义输入量在一定的范围内变化，公式如下：

2）将函数rand随机得出的量定义带入到A点位置方程（即式（13））中，得到大量的工作空间坐标。

3）利用函数即可求得并联机器人末端A点所能到达的空间坐标构成的工作空间图。

3.2 DELTA机器人工作空间仿真

机器人定义参数如下：静平面半径R=240 mm，动平面半径r=120 mm，推动杆L=300 mm，从动杆l=600 mm。3个输入变量θi定义范围为30°～120°，函数设定rand（10000,1），在一定范围内得出10 000个随机变量。并联机器人末端A点的工作空间及其在xoy、xoz、yoz三面上的投影如图5～图8所示。

从图中可以看出，在已知参数下，x最长可达630 mm，y最长可达600 mm，而x有着70 mm高度的工作空间。因此可以广泛应用于生产线上，能够快速完成分拣和搬运工作，工作准确可靠，生产效率高，是一种理想的工业机器人。

图5 喷枪三维工作空间

图6 工作空间xoy面投影

图7 工作空间xoz面投影

图8 工作空间yoz面投影

4 结 语

本文针对Delta并联分拣机器人进行了结构设计，推导了机器人工作位置的正逆解方程，采用MATLAB进行了正逆工作位置方程的求解，并对该机器人执行器末端工作空间进行了运动学仿真，得到了并联机器人的工作空间，对Delta并联分拣机器人的运动控制具有较为重要的参考意义。