拨云见日现本质,固本清源议教学——以2019年全国高考数学III卷第22题为例

广东省东莞实验中学(523120) 姚清 段伟

在数学学科核心素养观的指导下,2019年的高考数学试题一改往年稳定保守的风格,结构焕然一新,形式独特新颖,其中全国III 第22 题以“云”形展示,图象简洁优美,考点清晰明朗,但是很多考生却感觉云雾迷蒙,不知所云.这反映出过度训练的教学模式的弊端.本文通过对问题的解答与分析,探究素养导向下高考题目的特点,挖掘题目蕴含的数学核心素养,发展科学思维,反思数学教学.

1 原题呈现

2019年全国高考数学III 卷第22 题:如图,在极坐标系Ox中,弧所在圆的圆心分别是曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.

(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;

(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且,求P的极坐标.

例题图

图1

2 解法分析

本文只讨论第(1)问:

方法1求出圆的直角坐标方程,再利用互化公式化为极坐标方程;

方法2如图1所示,在直角坐标系下圆E的方程为:(x−1)2+y2=1,先利用圆E和圆F关于直线y=x对称,圆E和圆G关于直线y轴对称,求出圆F和圆G的直角坐标方程,再利用互化公式化为极坐标方程;

方法3如图2所示,在极坐标系中利用正弦定理建立方程,寻找满足点的等量关系:

在Rt∆AOP中,|OP|=|OA|cos ∠AOP,即ρ=2 cosθ,

在∆BOP中,由正弦定理,得即ρ=2 sinθ,

在Rt∆DOP中,|OP|=|OD|cos ∠DOP,即ρ=−2 cosθ;

医药B2C平台顾客忠诚度模型，包括顾客、商品、平台网站三个方面的因素会对医药B2C平台顾客忠诚度产生正向的影响。如图1所示。

图2

图3

方法4如图3所示,在极坐标系中利用余弦定理建立方程,寻找满足点P(ρ,θ)的等量关系:

在∆OPE中,|OE|2+|OP|2−2|OE||OP|cos ∠POE=|PE|2,即ρ=2 cosθ;

在∆OPF中,|OF|2+|OP|2−2|OF||OP|cos ∠POF=|PF|2,即ρ=2 sinθ;

在∆OPG中,|OG|2+|OP|2−2|OG||OP|cos ∠POG=|PG|2,即ρ=−2 cosθ;

方法5如图4所示,圆E的极坐标方程为ρ=2 cosθ.在极坐标系中,圆F可以由圆E逆时针旋转得到,对于圆F上任意一点Q(ρ,θ)顺时针旋转的对应点必在圆E上,即化简,得ρ=2 sinθ;

图4

图5

如图5所示,在极坐标系中,圆G可以由圆E逆时针旋转π得到,对于圆G上任意一点R(ρ,θ)顺时针旋转π的对应点P(ρ,θ−π)必在圆E上,即ρ=2 cos(θ−π),化简,得ρ=−2 cosθ.

方法6如图6所示,圆E的极坐标方程为ρ=2 cosθ.在极坐标系中,圆F和圆E关于直线对称,对于圆F上任意一点Q(ρ,θ)关于直线的对称点必在圆E上,即化简,得ρ=2 sinθ;

图6

图7

如图7所示,在极坐标系中,圆G和圆E关于直线对称,对于圆G上任意一点R(ρ,θ)关于直线的对称点P(ρ,π−θ)必在圆E上,即ρ=2 cos(π−θ),化简,得ρ=−2 cosθ.

3 试题分析

该题目在极坐标系下求解“云”的方程,图形美观,形式新颖,注重科学思维的考查,着力考查的数学核心素养为直观想象,逻辑推理和数学运算.

相对于能力立意下的高考题目,该题目素养导向明显.从题目结构看,“云”形图案由三段圆弧构成,必须建立文字、符号及图形的良好关系,才能准确把握圆弧所在圆的相对位置关系,而且需要将圆形补充完整,才能便于发掘三角形的边角关系从而建立方程,这体现试题条件并不良好,需要较强的阅读素养.“云”形图案简洁美观,是数学和美育的完美结合,让学生体会到了数学的温度,凸显了命题形式的人文性.三个圆的方程的求解既可以单独完成,也可以通过彼此之间的旋转变换或者翻折变换得到,这体现了考查内容的新颖性和解决方法的多样性.

从问题解决过程来看,可以通过直观想象直接得到曲线的方程,但是必须应用数据推导才是严谨的推理,这体现科学思维的客观性;对于连接点A,B,C,D,必须通过验证来说明满足曲线与方程关系的完备性,这体现了科学思维的精确性;问题的解决方法多样,思路开阔,多种方法之间既可以建立联系,也是彼此验证,体现了科学思维的可检验性;通过对解法的反思和优化可以归纳出一般圆的极坐标方程求法,这体现了科学思维的普适性.

4 反思教学

4.1 挖掘教材

善于挖掘教材内容是素养提升的出发点.

“科学思维是对客观的事物本质的属性以及潜在的规律和相互之间的关系的一种认知方式,这种方式必须建立在实际的事实之上去构建相应的模型……”.教材本身就是科学思维最好的体现.教材主线突出,结构优化,更重要的是教材凸显教学内容的逻辑性和思想性,是“双基”的最优载体,是落实“四基”的有力工具.核心素养指导下的数学教学不但注重知识的覆盖和获得,而且强调知识的迁移,高考题目也在继续加强在知识点交汇处命题的趋势,但是在实际的教学中,很难通过一节课或者一个知识点就把数学的本质表述清楚,所以必须挖掘教材,建立知识点之间的内在联系,这样学生得到的才不会是碎片化的知识,才能全面的,联系的认知和思考问题.以构成“云”形图案的三个圆为例,教材分别在例题和课后练习中都进行了展示,教师在平常的教学中不但要将这些问题吃准讲透,还应该挖掘和建立相关问题之间的内在联系.以直角坐标和极坐标之间的关系而言,不仅仅只是几个互化公式而已,公式背后是以三角为纽带而建立的逻辑关系,如图8、图9所示,抓住这一点就能引导学生学习联系的看待数学的问题.所以,挖掘教材,用好教材是一举多得的教学措施.

图8

特别的,

图9

4.2 反思过程

勤于反思教学过程是素养提升的生长点.

具有对自己的教学状态进行审视的意识和习惯,善于总结经验,能够根据不同的情境和实际,选择或者调整教学策略和方法,是素养导向下的教师必须面对和提高的.引导学生反思解题过程是否合理,是否有足够的概念,定理,方法支持;反思思路是否严谨,有无疏漏;反思方法是否可以更加优化,能否普遍适用.通过反思对教学进一步的深化,整理和提高的过程既有助于学生思维品质的培养,也有助于学生养成良好的学习习惯.

以方法3 为例,三个方程的求解过程都需要借助圆的内接三角形,但是显然在直角三角形中的边角关系更加简单.一般的,对于过极点的任意圆,都可以利用

图10

图11

其内接直角三角形求解极坐标方程,如图10所示,如果圆心极坐标为M(ρ0,θ0),半径为r,那么圆的极坐标方程为ρ=2rcos(θ−θ0).方法4 通过余弦定理建立方程,紧扣圆的定义,所以即便圆不过极点,方程依然可以建立,而且方法更具有一般性,如图11所示,如果圆心极坐标为M(ρ0,θ0),半径为r,圆的极坐标方程为通过对方法5 和方法6 的比较,既可以让学生体会用变换方法化繁为简,化难为易,这是一种用“联系的观点”来看待问题的方式;也可以让学生体会虽然同一图形在不同变换下结果一致,但是图形上的同一个点在旋转变换和翻折变换下的结果却是不同的,这种关系不可谓不奇妙,这实际上是集合中元素无序性的充分体现,可以抓住机会就曲线、方程、集合的关系再次进行梳理和辨析,如图12所示.

图12

4.3 提炼思想

精于提炼思想方法是素养提升的落脚点.

数学基于具象的知识,也依赖于概念的表达,交流,发展,但是数学真正的营养是数学结论背后的思想.抓住了数学的思想就是抓住了数学的本质,提炼数学思想的过程也是促进智慧生成,能力提高的过程.所以在教学活动中,要注重抓住机遇及时总结和提炼思想方法.数学的基本思想相对宏观,反映数学的本质,常见表现形式为抽象、推理和模型;数学方法相对具体,并具有程序性、步骤性、路径性和可操作性,比如归纳法、类比法、枚举法等等.通过对数学方法的介绍,渗透,总结,学生才能在潜移默化间具备数学的思想、能力、精神,也才能够在解决实际问题时抓住重点,清晰思辨,准确推理.

以上题为例,极坐标系下方程的求解可以借鉴直角坐标的方法步骤,引导学生通过回顾f(x,y)=0 与曲线的关系来理解f(ρ,θ)=0 和曲线的关系,这实际上是类比思想的体现.通过三个特殊圆的方程的求解与比较,可以寻找统一的方法,以便求解一般圆的方程,这是归纳思想的体现.以圆E的方程为载体,通过旋转变换或翻折变换来求解另外两个圆的方程,这是化归思想的体现.

“从特殊到特殊”,“从特殊到一般”所得到的结论是或然的,但是或然性的结论是数学创新的根本,也可以说只有类比和归纳才有“预测”和“探究”的创新功能.通过类比思想和归纳思想的提炼,不但可以让学生体会知识形成和发展的过程,而且有助于学生创新能力的提高.素养导向下的新高考既注重科学思维的考查,也注重探究能力的考查,这实际上是凸显新高考对数学基本思想考查的更高要求.

总之,核心素养导向下的中学数学教育对教师有更高的要求,我们在教学中必须更加注重知识的形成、发展和联系,更加注重方法的总结和思想的提炼,更加注重形成科学的方法和科学的态度,才能应对新时代人才培养的教育需求.