基于APOS理论的概念教学设计研究与实践——以“分层抽样”教学设计为例

广东省佛山市第一中学(528000) 吴统胜

1 背景

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标(2017年版)》)定义数学核心素养是“数学课程目标的集中体现,是具有数学特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的.包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”[1]前三个是数学的基本思想渗透,后三个是数学基本能力的培养.《课标(2017年版)》明确规定高中数学的培养目标是:使学生通过数学的学习,获得必要的数学基础知识和基本技能,理解基本的数学概念、数学结论的本质,了解概念、结论等产生的背景、应用,体会其中所蕴含的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用.概念是思维的基本形式,数学概念是数学思维的核心和逻辑起点,是学生认知的基础.学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力、创造思维能力和分析解决数学问题的能力等等,都是以清晰地掌握和运用数学概念为前提的.数学概念在学生理解和掌握数学的基本原理,基本规律过程中扮演着极其重要的角色.概念教学是中学数学教学中至关重要的一项内容,是基础知识和基本技能教学的核心,正确理解概念是学好数学的基础,学好数学概念也是学好数学最重要的一环.因此,数学概念的教学成为数学基础教育的重中之重.如何在依据学科核心素养课标与重组教材的顶层设计之下,积极探索学科核心素养下的数学概念教学实践,即结合教学内容探寻指向核心素养的教学路径与方法,将核心素养落地做细、做实,是每一位数学教师要思考和实践的课题.

2 APOS 理论

APOS 理论最早起源由美国的数学家杜宾斯基所提出,其关于APOS 理论的文章最早出现在期刊《高等数学思维》上,杜宾斯基等人指出APOS 理论来源于试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝试.自20 世纪80年代以来,美国高校盛行课堂教学模式改革,而APOS 理论就是在这种背景下由杜宾斯基等人提出.APOS 理论是在数学教育研究实践中发展的一种理论,是针对数学概念学习过程研究的一种建构主义学习理论[2].该理论认为数学知识是在个体在解决数学问题的过程中获得的.

杜宾斯基提出的APOS 理论,概括了概念学习的四个阶段.这四个字母的含义分别是:A-Action(活动),P-Process(程序),O-Object(对象),S-Schema(图式).第一阶段,“活动”是指个体通过一步一步的外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象.第二阶段,“程序”.当“活动”经过多次重复而被个体熟悉后,就可以内化为一种称之为“程序”的心理操作.在学习活动中,学习者通过第一阶段形成“程序”后,那么个体就不需要通过各种外界的指令去完成“活动”,直接在头脑中想象即可.正是因为省去了许多具体操作,个体可以迅速地完成对于程序的逆转以及多种程序的组合.第三阶段,“对象”.当个体能够把“程序”作为一个整体进行操作时,这一程序就变成了一种心理“对象”.第四阶段,“图式”.一个数学概念的图式是指由相应的“活动”、“程序”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架.

3 高中数学概念教学的现状与问题

众所周知,“重结果轻过程”是数学教学的一大弊端,在概念教学中表现得尤为明显.“一个定义,三项注意”式的抽象讲解,在学生对概念还没有基本理解的时候就要要求学生对概念的综合应用,许多教师甚至认为教概念不如多讲几道题目更实惠.

有些教师对概念本身的理解不到位,对概念的核心部分把握不准,不能正确理解概念的本质及蕴含的数学思想方法,更不会挖掘出概念的育人功能,就会导致学生对概念的理解不准确.

在数学概念的教学中,许多教师对数学概念所具有的高度抽象性和概括性认识不足,对中学数学概念体系没有全面了解,或者概念教学的方法单一,对学生如何学习数学概念缺乏正确和及时的引导;

有些教师在进行概念教学设计时,轻概念的生成,重概念的应用(解题),甚至避开有关概念理解的题目,学生在遇到与概念有关的题目时出错率很高.

在数学概念的学习方面,由于中学生年龄结构的特点,其抽象思维能力正处于逐步发展阶段,学生在学习数学概念时普遍存在着认识不深刻、不准确、不清晰、不牢固和不灵活等问题,导致在后续的学习中对数学定理、定义理解不深或出现偏差,机械记忆概念或生搬硬套的现象普遍存在.长此以往,严重影响学生的问题分析能力、解决能力的提高,对其他学科的学习也造成了障碍.

如何有效开展数学概念课教学,培养学生的数学抽象与数据分析素养?如何在概念课教学中落实核心素养的目标引领与价值导向作用?如何将《课标(2017年版)》的理念落实到数学概念教学中,促进数学核心素养在课堂的有效生成?

在2019年5月佛山市禅城区教育局的“特支计划”名师进民校教研活动中,笔者在佛山市岭南美术实验中学上了一节“分层抽样”的同课异构课.下面以该概念课为例,阐述基于APOS 理论进行概念教学设计与实施教学,在数学概念课教学中如何聚焦数学学科素养的发展,在关注学生知识技能掌握的同时,促进数学抽象与数据分析素养在课堂的有效生成.

4 “分层抽样”教学设计与实践

4.1 教学内容解析

“分层抽样”是人教版普通高中课程标准实验教科书必修三第2 章统计第一节随机抽样的第三课时.必修三的关于统计的这一教学内容,作用是让学生感受统计的“用样本估计总体”的思想,学会收集数据,进而对其进行整理,选用合适的方法进行分析,最后能用特征数反映总体的特征.初步掌握在实际问题中,用统计知识分析、解释生活现象的基本方法.分层抽样这一节内容是对前面简单随机抽样和系统抽样方法的一个补充,学完这节课后,学生可以形成较为完整的抽样方法体系,为后面对总体的分析打下坚实的基础,因此本节课起到承上启下的作用.

本节课,教材共设置了一个案例和一个实践操作问题,从“为什么要进行分层抽样”到“如何实施分层抽样”,最后阐述“各种抽样方法的适用范围和特点”.为了凸显统计抽样的必要性和为什么要进行分层抽样,用美国历史上发生的预测总统大选失败的案例引入课题,层层深入地说明抽样的要求和分层抽样的适用范围.本节课,安排了一个操作案例,选取了“班级学生平均身高估计”这个课题,让学生实际操作,学会利用信息技术分析处理数据,真正体现数学在解决实际问题中的价值和作用,进而真正将统计知识应用到实际问题中.

4.2 教学目标设计

知识与技能(1)通过具体实例的研究，了解分层抽样的方法以及科学、合理选用抽样方法的必要性.(2)理解分层抽样的概念,掌握其实施步骤.(3)通过对实际问题的对比分析，了解分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，使学生能根据具体情况选择适当的抽样方法解决实际问题.

过程与方法在数学活动的过程中引导学生抽象概括分层抽样的概念，让学生体会数学建模的思想.

情感、态度与价值观通过创设问题情境，在数学活动中抽象概括分层抽样的概念，并运用分层抽样解决实际统计问题，激发学生的数学求知欲，培养学生的数学探究精神，增强“数学来源于生活、应用于生活”的意识，提升数学抽象、数据分析等数学核心素养.

4.3 教学重点和难点

4.3.1 重点:分层抽样的概念和实施步骤.

4.3.2 难点:利用分层抽样解决实际问题.

4.4 学生学情分析

由于教材的内容在人教版初中教材中已有涉及,学生对统计的思想已经有初步的了解,学生对这部分内容比较熟悉.对于本节概念教学课,应侧重分层抽样概念的生成与理解,引导学生掌握分层抽样的具体实施步骤.所以,设置什么样案例,让问题更有代表性,怎样进行课题实践操作,让每个学生参与其中,得到体验和提升,是本节课能否成功的关键所在,也是教师着力最多的地方.

4.5 教学设计原理

我国数学概念教学常用的“属+种差”的概念同化方式:揭示概念本质属性,给出定义、名称和符号→对概念分类,揭示外延→巩固概念,利用定义简单识别→概念的应用和联系,用其解决问题,并建立与其他概念间的联系;

APOS 理论:概念构建经历(Action) 活动阶段(理解概念)→(Process)给出阶段(抽象概念性质)→(Objiect)对象阶段(赋予概念形式化的定义和符号,使其达到精致化,成为思维的一个具体对象)→(Scheme)图式阶段(起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号、与其他概念的联系等).

本节课采用APOS 理论进行教学设计并实施教学.

4.6 教学策略选择

本节课主要采用问题驱动、过程展示、变式探究、文化熏陶等教学策略.

4.7 教学过程设计

教学环节教学内容设计意图环节一:设置数学情境1(Action)活动阶段(教材第55 页阅读材料)1936年美国一著名杂志社(Literary Digest)为了预测总统候选人罗斯福与兰登两人谁能当选,为了了解公众的意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表,最后收回回信200 多万封,在调查史上是少有的容量,花费了大量的人力、物力,杂志社相信自己的调查结果——兰登将以57%对43%的比例获胜.最后选举的结果却是罗斯福以62%对38%的巨大优势获胜.问题1:试分析这次调查失败的主要原因?答:美国各个阶层对选谁当总统存在着较大分歧,而杂志社从富人阶层中选取的样本不具有代表性,不能代表全体美国人民的意向,所以导致预测结果失败.统计的思想是用样本去估计总体,所以抽取一个能代表总体的样本是进行数学分析的前提.什么是“好”的样本?较之于生硬的说教,不如举例说明.通过所举的案例学生很快就能理解,抽样要有“代表性”,这样才能对总体作出合理的估计,达到正确估计总体的目的.那对总体中的个体差异较大的情况,我们如何抽取样本,激发学生的好奇心,引入本节课的课题.这个案例同时意在培养学生学会用数学的眼光观察世界的习惯,用数学的语言去解释,表达身边的世界.问题2:为了估计本班级全体学生(共有48 人,其中男生32 人,女生16 人)的平均身高(数据如下表),我们想从班级学生中抽取出容量为12 的样本进行调查,请问你将如何抽样?(学生讨论)环节一:设置数学情境2(Action)活动阶段表1 本班全体学生的性别和身高学号性别身高学号性别身高学号性别身高(cm)(cm)(cm)1男174 17男177 33女163 2男183 18男173 34女166 3男163 19男174 35女160 4男172 20男180 36女163 5男168 21男186 37女154 6男178 22男180 38女160 7男170 23男170 39女155 8男168 24男170 40女160 9男173 25男175 41女168 10男177 26男183 42女167 11男172 27男176 43女168 12男175 28男178 44女167 13男172 29男178 45女166 14男176 30男186 46女165 15男168 31男176 47女175 16男173 32男172 48女158“性别差异”是影响身高的重要因素,简单随机抽样不能稳定地体现“男生人数与女生人数是2:1”的抽样要求.将几种抽样方案进行对比,学生能够感受到“按性别人数之比”进行抽样的必要性.学生讨论后答:方案1:用简单随机抽样从48 人中抽取12 人.方案2:从男生中抽取8 人,从女生中抽取4 人合成12 人的样本.方案3:用系统抽样法从48 人中抽取12 人.问题3:请大家自由讨论一下,这三种方案,哪种方案比较好?(学生自由讨论)请实施上述的抽样方案1 和方案2(由于人数较少,舍去方案3 的系统抽样),并进行数据分析对比?(一)实验过程:1.两人一个小组,分组进行实验.采用简单随机抽样方案1,利用随机数表法(《必修3》第103-105 页)或利用电子表格中的数据分析功能随机抽取12 个数据样本,并用计算器计算出样本的平均值.采用方案2,先在男生中抽取8 个数据,再在女生中抽取4 个数据合成样本,并用计算器计算出样本的平均值.我们得到多组数据后,如何对数据进行分析,进一步判断哪组样本数据更接近总体真实水平?2.利用计算机电子表格中的数据分析功能或利用随机数表(《必修3》第103-105 页)进行抽样,并描绘出各组数据的折线图.“倡导积极主动,用于探索的学习方式”是高中数学新课程的基本理念之一.新课程理念要求“教师是引导者、方法的建立者,而不是简单的知识的传授者”,倡导学生“自主、合作、探究”的学习方法.所以,尽管方案2 看起来有明显的优点,但我们应该要培养学生看问题不能流于表面,即使不能进行严格的理论证明,也要通过实践去验证自己的认识是否正确.让学生完整地进行一次数据收集、整理、分析,解释的过程,亲身体会统计学的学科特点,进一步地,提高学生数据分析的素养,全方位地体现新课程理念.

(二)实验结论:实验完成后请小组代表上台陈述实验结论.方案1、方案2 各抽样数据、样本平均值、总体平均值对比情况如下:images/BZ_11_589_476_1532_834.png学生根据数据作出折线图并观察图表,直观体验两种方案的实验结果,体会采用哪种方案会更科学合理些.通过数据的折线图,和班级学生身高的实际平均水平作比较,可以发现采用方案2 抽取的样本算出的平均值和总体的平均值最为接近,而且数据的波动性更小.方案2 就是我们今天要介绍的分层抽样.创设一个情境,让学生体会分层抽样中对“层”的要求,即层与层之间差异明显,层次分明,把握住分层的重点.环节二:(Process)给出阶段(抽象概念性质)问题4:你能概括出分层抽样的概念吗?学生抽象概括出分层抽样概念,师生共同补充完善如下:(一)分层抽样的定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.师生进行了大量的数学实践活动,教师需要引导学生用数学的眼光从客观现实的原型中,形成抽象的数学概念.“实验、观察、验证、归纳、应用”是本节课的一条主线,至此,达到了进一步增强学生的抽象思维能力的目标.环节三:(Objiect)对象阶段(赋予概念形式化的定义和符号,使其达到精致化,成为思维的一个具体对象)进一步辨析、理解概念:(二)分层抽样的适用范围:总体“差异明显”.(三)分层抽样的目的:为了使样本充分地反映总体的情况(样本有代表性).(四)分层的原则:分成“层次分明”的几部分,(层和层之间的差异要大).(五)分层抽样的特点:按各部分在总体所占的比实施抽样.问题5:你能规划下分层抽样的具体抽样步骤吗?(一)将总体按一定的标准分层;(分层)(二)计算各层的个体数与总体的个体数的比;(定比,抽样比=总体容量样本容量)(三)按各层个体数与总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量;(确定各层的样本容量)(四)在每一层进行抽样.进一步辨析、理解“分层抽样”概念,使其达到精致化.“实验、观察、验证、归纳、应用”是本节课的一条主线,至此,达到了进一步增强学生的抽象思维能力的目标.环节四:(Scheme)图式阶段(起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号、与其他概念的联系等).问题6:分层抽样,在实际生活中应用非常广泛,你能举出一些在实际生活中用到分层抽样的例子吗?学生images/BZ_11_996_2073_1027_2105.pngimages/BZ_11_1027_2073_1059_2105.png举出一些实例.我们现在所处的是“大数据时代”,互联网日益成为人们获取数据的一个重要来源.例1 某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为12000 人,其中持各种态度的人数如表所示:很喜爱喜爱一般不喜欢2435 4567 3926 1072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取60 人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样?师:接下来我们具体到每一层应该如何抽样?生:考虑到人数较多,用系统抽样.师:分层抽样主要是解决总体中差异比较明显的抽样,但具体到每一层,则应该用系统抽样或是简单随机抽样.例2 下列问题中,采用怎样的抽样方法较为合理?(1)从10 台冰箱中抽取3 台进行质量检查;(2)某影院有32 排座位,每排有40 个座位,座位号为1-40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,需留下32 名听众进行座谈;(3)某学校有160 名教职工,其中教师120 名,行政人员16 名,后勤人员24 名.为了了解教职工对校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20 的样本.“问题是数学的心脏”,此处,安排一个与本节课开头类似的案例,学生同样要经历选择简单随机抽样还是分层抽样的思维过程.但是,此时,学生已经了解分层抽样的概念,能够明确地提出选择分层抽样的理由.对于分层抽样,学生已经从最初的感知上升到较为深刻的认识,同时,能够在数据处理中,灵活地应用,达到了提高学生数学实践能力的目标.

通过例2 的学习,我们进一步了解到了三种抽样方法的特点及适用范围,那么这三种抽样方法,它们之间的区别和联系是什么?我们一起来完成以下表格:类别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体个数较少系统抽样(新课程不要求,简单介绍即可)将总体平均分成几部分,按一定的规则分别在各部分抽取在起始部分抽样时,采用简单随机抽样总体中的个体个数较多抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同分层抽样将总体分成几层,按各层个体数之比抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成这是一组辨析题,学生需要分析具体条件,选择合理的抽样方法进行抽样,温故知新,加深对不同抽样方法的理解.本章是高中阶段与生活实际结合最紧密的内容,教师应充分利用这一特点,设置多种情境,让学生置身于多种不同的生活场景,充分感受数学知识在实际生活中广泛应用,培养学生的理性思维能力.巩固提高题:(1)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200 辆、6 000 辆和2000 辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46 辆进行检验,这三种型号的轿车应分别抽取、和辆.(2)某所学校有小学部、初中部和高中部,在校小学生、初中生和高中生之比为5:2:3,且已知初中生有800 人.现要从这所学校中抽取一个容量为80 的样本以了解他们对某一问题的看法,应采用什么抽样方法?从小学部、初中部及高中部各抽取多少名?总体上看,平均多少名学生中抽取到一名学生?(3)某地有居民100000 户,其中普通家庭99000 户,高收入家庭1000 户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990 户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100 户进行调查,发现共有120 户家庭拥有3 套或3 套以上住房,其中普通家庭50 户,高收入家庭70 户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3 套或3 套以上住房家庭所占比例的合理估计是.设置巩固提高题组,运用分层抽样概念解决实际问题,进一步加强对分层抽样概念的理解、掌握与灵活运用.

4.8 课堂小结及布置作业(略)

5 结束语

“概念是思维的基本形式,数学概念是数学思维的核心和逻辑起点”,从概念出发,用基本的数学知识,解决基本的数学问题,是数学教学本质.“教师的基本任务是帮助学生把一个个具体知识理解到位并能用于解决问题”[2],这也是落实对学生核心素养培养的关键,数学教学始终要围绕概念进行,从概念建立到概念体系完善到概念运用始终要凸显概念的核心地位,概念是事物根本属性的反映,是学习的基础,抓住了概念就是抓住了本质,同时也说明,只有重视概念教学,才能把握数学教学的灵魂[3].

章建跃博士认为,概念教学的核心是引导学生开展概括活动:将凝结在数学概念中的数学思维活动打开,以若干典型具体事例为载体,引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概括过程[4].

在数学概念教学中,教师应在学生最近发展区内精心重组教学内容,展现数学知识发生发展过程的思维活动,为学生的思维构建创设问题情境;交给学生发现、创造的方法,培养学生用数学的观点、思想方法来研究、探索问题的能力,提高学生的思维品质.在概念教学中,不能仅仅局限于对概念表面的认识和理解,要引导学生多角度去理解挖掘概念的本质,挖掘概念的丰富内涵与外延,挖掘其所蕴含和展现的培养学生思维的活动过程.

整个概念教学要让学生“经历从数学研究对象的获得到研究对象再到应用数学知识解决问题的完整过程”[2],建立概念只是“万里长征走完第一步”,能够运用概念解决理论和实践中的问题是根本目的,在运用概念时,要经常对概念进行“回头看”,“养成从基本规律出发思考和解决问题的习惯”,回归定义,回归本质,要进行变式转换,在不同环境下运用概念,积累思维和活动的经验.

概念教学不可一蹴而就,学生理解概念、掌握概念有一个不断反复的过程.概念建立后,还需对其“深加工”,要挖掘概念中隐含的思想方法,要在不同情境下引导学生进行探究,实地应用,教师要通过分析解读、引导学生回归概念,回归本质.