基于尖点突变理论的隧道工程压力锚杆稳定性研究①

李文剑，李浩军，朱艾路

(中山市住房和城乡建设局，广东 中山 528403)

随着我国公路工程、市政工程建设规模的不断扩大，需要建造越来越多的隧道工程。压力锚杆属于隧道工程的重要初期支护体系，而在隧道结构中锚杆受力复杂。笔者通过引入突变理论的尖点突变模型，用该机理分析隧道锚杆力学特性并进行稳定特性研究。首先对国内的相关研究进行回顾。周平等利用突变理论对隧道局部失稳进行预测研究[1]。张业民以突变理论为基础研究了尖点突变模型在岩土力学本构模型的可行性和工程应用[2]。胡晋川利用尖点突变理论分析黄土边坡的稳定性[3]。张业民、李文剑等利用数值模拟方法研究隧道锚杆施工过程力学特性[4-8]。张业民、李顺群等研究了细长杆屈曲后位移的计算方法[9,10]。

本文以压力型锚杆为研究对象，对受压锚杆在围岩的水平剪力等情况下锚杆杆体可能发生几何屈曲变形而影响结构承载力的情况，利用尖点突变理论建立模型，从而分析锚杆在受压状态下的稳定性,为后隧道加固和支护参数优化提供理论支撑[7-9，11]。

1 锚杆力学模型

以压力型锚杆为研究对象。压力型锚杆杆体本身受到隧道围岩挤压和剪切力作用、注浆压力、与周围围岩共同作用的摩擦力等沿着杆体长轴方向的拉拔、悬、吊力等，统一把这些受力的合力归结为水平力Q和垂直压力P的作用。锚杆需经钻机钻孔围岩后的条状细长空间内植入故锚杆两端无弯矩发生，不妨按两端铰支考虑。当P、Q力共同作用达到一定数值时，压力锚杆可能会突然产生屈曲，这对于结构承载力会有一定程度的影响。从图1的锚杆分析模型推导，P=Pcr=EIπ2/L2，而水平力Q=0时，锚杆在空间内可能处于稳定状态，但此时随着力P变化可能出现屈曲。锚杆受到水平力Q的作用，压力锚杆就可能沿水平方向的某一边凸起，此时压力锚杆发生屈曲现象[2,9,10]。

图1 锚杆分析模型

压力锚杆稳定状态由水平力Q和垂直力P来决定，压力锚杆的几何性状失稳可以用尖点突变理论来描述。对于压力锚杆发生屈曲问题来说，即垂直力P与水平力Q，这两者作为二维控制变量，将表征事物质态变化参量的压力锚杆中点位移δ作为一维状态变量。这3个变量组成的三维空间模型如图2所示，曲面方程即为基于压力锚杆的尖点突变模型方程[10]。

图2 (δ,Q,P)坐标下的尖点突变模型

2 压力锚杆尖点突变模型

由突变理论可知尖点模型的势函数可表达为V(x)=x4+ux2+vx=0

(1)

(2)

控制平面内的分支曲线方程 4y3+27z2=0

(3)

将标准方程的坐标经旋转与平移至O(δ,Q,P)的坐标系中可得下列方程组：

(4)

式中：α，β，γ为点O(δ，Q，P)坐标系中的位置坐标值；aij为原坐标对新坐标的方向余弦。由于模型中设δ轴与x轴平行，故a11=1。通过上述坐标变换后可求得曲面于新坐标系O(δ，Q，P)内的方程式为

f(δ，Q，P)=(δ+a12Q+a13P-α)3+(a21δ+a22Q+a23P-β)×

(δ+a12Q+a13P-α)-a31δ+a32Q+a33P-γ=0

(5)

坐标变化的附加条件为

(6)

同为右手系时需满足：

(7)

引入边界条件，在O(δ，Q，P)坐标系中当δ=0、Q=0时即表示P轴，故则方程f(δ，Q，P)=0，此时应为线性函数。f(0，0，0)=0，将上述边界条件及附加条件代入式(4)，最终可以求得：

(8)

α=tanθ

(9)

又由式f(0，0，0)=0求得：

α3-αβ-γ=0

(10)

将式(8)代入式(5)得：

f(δ，Q，P)=(δ-α)3+(Qcosθ+Psinθ-β)×(δ-α)-(-δsinθ+Qcosθ-γ)=0

(11)

将式(9)，式(10)代入式(11)得：

f(δ，Q，P)=(δ-α)3+α3+δ(Q-β)cosθ-P(α-δ)sinδ=0

(12)

β′=β/cosθ

(13)

有关参数的确定：α为细长杆发生屈曲时的中点位移，参考张业民等[2]研究成果可取为0.3L。由于θ点表示失稳因子为零的场地，只要该处经受一微小的侧向干扰力，即可导致发生屈曲，故应认为原点O亦位于分歧曲线上，则由分歧曲线标准方程式获得

4β3-27γ2=0

(14)

式中：β值可由式(11)、式(14)及α值确定。

3 工程实例

3.1 压力锚杆验算

以广东省中山市某城市快速路交通隧道工程为背景，取该隧道工程应用系统锚杆的压力注浆型锚杆为工程研究对象。其性能参数如下：σp=200 MPa，E=210 GPa，λp=100，锚杆直径d=22 mm，则假设杆长为L，该隧道工程应用实际锚杆理论设计杆长L最小值为3.5 m>0.55 m，属细长杆。经数值计算，该锚杆构件的承载力为65.313 kN，计算结果f=179.06 N/mm2。小于现行规范《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010(2015版))规定的极限屈服值fstk=420 N/mm2。从偏安全角度考虑计算临界状态设当杆长L=0.5 m 时；α=0.15 m，β=0.050625，若Q=0.1 kN，杆体受到水平的剪切力就可发生锚杆水平失稳。

可见在无水平约束时杆体会发生失稳变形且远未达到屈服强度，则存在一定的强度储备未有完全发挥。如若加固周围围岩、通过注浆增加水平约束力后锚杆的承载力可大幅发挥压力锚杆剩余承载力。

3.2 实测对比

根据孙艳、张业民等[10]的研究实测数据成果：L=0.5，δ=0.159，P=42.721，f(δ，Q，P)=0.07。将数据代入推导出的尖点突变模型方程式中，结果与实测吻合较好。

3.3 锚杆环向稳定性分析

隧道拱顶锚杆一般均为沿环向均匀布置。若压力锚杆在稳定性良好的围岩中沿环向布设，通过对隧道压力注浆和锚杆挤压黏结作用，加固隧道开挖面以外一定范围内的土体，提高其自身结构抗力性能并在拱顶一定区域内形成承载“拱圈”。拱圈的形成使锚杆杆体水平位移受到约束，相当于水平力Q有相互作用力和反作用力，促进锚杆稳定则对于支护结构整体稳定性有利。

锚杆本身作为支撑构件与隧道初期支护喷砼结构结合形成机动结构，两者可有机地融合，形成共同工作的防护结构而限制洞周收敛变形。通过压力注浆锚杆的施设，达到加固洞周以外一定范围内围岩的目的，同时可以形成结构拱，可较有效地防止隧道渗漏和增强结构稳定。根据验算成果及时调整和反馈锚杆的布设长度、注浆位置、注浆深度，对于合理使用锚杆增强结构的整体稳定性有积极意义。

4 结论

锚杆的理论分析可以是多方面的，不仅与计算模型相关，而且与锚杆计算理论有关。考虑压力锚杆破坏的突发性和瞬时性，引入突变理论将势函数化简为尖点突变模型的标准形式，得到锚固体沿软弱面滑动突变失稳的充要力学条件。通过引入突变理论的尖点突变模型，对隧道工程压力锚杆支护的复杂性建立压力锚杆力学模型，利用突变理论的基本公式推导出压力锚杆几何失稳的尖点突变模型，并且通过工程实例验算与实测对比验证该理论方法可行。

通过分析锚杆力学性能并未完全发挥，其强度富余的空间相对较大。若通过围岩加固、注浆等方式为锚杆提供水平向Q的约束力则对于压力型锚杆发挥富余强度有着积极的意义。同时能够加固围岩，增加锚杆杆体与周围围岩的相互摩擦咬合力，从而提高岩土体的整体稳定性。如果采用加长型压力锚杆则杆体更加深入围岩内部，从而更加能够发挥杆体的拉拔、悬挑作用，但能有效抑止拱顶受拉破坏区的形成和塑性区的连通。

以突变理论为基础研究隧道压力型锚杆的作用效果，从理论角度探求锚杆稳定性问题，从尖点突变模型入手推导出压力锚杆尖点突变模型。实测与理论推演的结果基本相符。

环向的多重注浆后锚杆聚集在一起产生水平约束力Q，不仅加固洞周以外一定范围内的围岩后形成一定的连续承载拱圈作用，而且还可以协助发挥锚杆的剩余强度，且越靠近中点效果越显著。可为进一步研究压力型锚杆与周围构筑物的共同作用理论和压力型锚杆的工程应用、结构加固提供理论支撑。

根据理论验算可以及时调整反馈锚杆的布设长度、注浆位置、注浆深度等参数，可指导隧道支护结构布设的同时优化结构设计。对于进一步研究锚杆的破坏形式和受力形式作理论铺垫，为下一步隧道工程压力锚杆实体试验、隧道现场监测点位置作出理论指引。