非阿基米德Menger概率n-度量空间中一类映象的不动点定理

张树义，聂 辉

(渤海大学数理学院，辽宁 锦州 121013)

1 预备知识

关于在概率度量空间建立不动点定理文献[1-8]做过研究，其中文献[6]在概率n-度量空间中建立了一类映象的不动点定理.本文在非阿基米德Menger概率n-度量空间中建立一类新的映象对公共不动点的存在性定理，改进和推广了文献[1，7]中的相应结果.

定义1[1]映象f：=(-，+)→+=[0，+)称为分布函数，如果它是不减的、左连续的，

(ⅰ)Fp(0)=0；

(ⅱ)对任意n个相异的x1，x2，…，xn∈X，存在y∈X，t0>0，使得0≤Fp1(t0)<1，p1=(x0，x1，…，xn，y)；

(ⅲ)Fp(t)=H(t)⟺p=(x0，x1，x2，…，xn)的坐标x0，x1，x2，…，xn中至少有两个相等；

(ⅳ)Fx0，x1，x2，…，xn=Fx1，x0，x2，…，xn=…=Fx1，x2，…，xn，x0；

则称(X，F)为概率n-度量空间.

定义3[6]映象Δ：∏[0，1]→[0，1]称为三角范数(简称t-范数)，如果满足以下条件：

(ⅰ)Δ(0，0，…，0)=0；∀a∈[0，1]，Δ(a，1，1，…，1)=a；

(ⅱ)Δ(a0，a1，a2，…，an)=Δ(a1，a0，a2，…，an)=…=Δ(a1，a2，…，an，a0)；

(ⅳ)Δ(Δ(a0，a1，a2，…，an)，b1，b2，…，bn)=(Δ(a0，Δ(a1，a2，…，an，b1)，b2，…，bn)=…=Δ(a0，a1，a2，…，an-1，Δ(an，b1，b2，…，bn)).

注1几种常用三角范数：∀ai∈[0，1]，i=0，1，2，…，n.

2)Δ2(a0，a1，a2，…，an)=a0·a1·a2·…·an；

3)Δ3(a0，a1，a2，…，an)=min{a0，a1，a2，…，an}.

定义4[6]如果(X，F)是概率n-度量空间，Δ是t-范数且满足广义Menger三角不等式：

∀p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，∀y∈X，∀ti∈+，i=0，1，2，…，n，则称(X，F，Δ)为Menger概率n-度量空间.

(Ⅰ)若对∀ε>0，存在M=M(ε)，当m≥M时，有Fxm，x，a1，…，an-1(ε)=1，∀ai∈X，i=1，2，…，n-1，则称序列{xm}收敛于x∈X.

(Ⅱ)若对∀ε>0，存在M=M(ε)，当m，k≥M时，有Fxm，xk，a1，…，an-1(ε)=1，∀ai∈X，i=1，2，…，n-1，则称序列{xm}为Cauchy序列.

(Ⅲ)若X中任一Cauchy序列都收敛于X中的一点，则称(X，F)是完备的.

定义6如果定义2中条件(ⅴ)换为：

(ⅵ)∀y∈X，若Fx0，x1，x2，…，xn-1，y(t0)=1，Fx0，x1，x2，…，y，xn(t1)=1，…，Fy，x1，x2，…，xn(tn)=1，则Fp(max{t0，t1，…，tn})=1，∀p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，∀y∈X，∀ti∈+，i=0，1，2，…，n，

则称(X，F，Δ)为非阿基米德概率n-度量空间.

定义7称(X，F，Δ)为非阿基米德Menger概率n-度量空间，若(X，F)是一非阿基米德概率n-度量空间，Δ是满足下列条件的t-范数：

(ⅶ)Fp(max{t0，t1，…，tn})≥Δ(Fy，x1，x2，…，xn(t0)，Fx0，y，x2，…，xn(t1)，…，Fx0，x1，x2，…，xn-1，y(tn))，∀p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，∀y∈X，∀ti∈+，i=0，1，2，…，n.

设Ω={g|g：[0，1]→[0，)连续、严格递减，g(1)=0，g(0)<+}.

定义8非阿基米德Menger概率n-度量空间(X，F，Δ)称为(C)g型的，如果存在g∈Ω，使得∀p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，y，z∈X，∀t≥0，有

gFx0，x1，x2，…，xn-1，y(t)≤gFx0，x1，x2，…，xn-1，z(t)+gFx0，x1，x2，…，xn-2，z，y(t)+…+gFz，x1，x2，…，xn-2，y(t).

定义10设(X，F，Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率n-度量空间，(X，F，Δ)中序列{xm}收敛于x当且仅当对∀ε>0，λ>0，存在N(ε，λ)∈*，使得m≥N(ε，λ)，有gFxm，x，a1，…，an-1(ε)

定义11设(X，F，Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率n-度量空间，(X，F，Δ)中序列{xm}称为Cauchy序列当且仅当对∀ε>0，λ>0，存在N(ε，λ)∈*，使得∀k，m≥N(ε，λ)，有gFxk，xm，a1，…，an-1(ε)

引理1(ⅰ)如果非阿基米德Menger概率n-度量空间(X，F，Δ)是(D)g型的，则(X，F，Δ)是(C)g型的.

证明：(ⅰ)显然，下证(ⅱ).取g(t)=1-t，t∈[0，1]，则g∈Ω，且

因此(X，F，Δ)是(D)g型的.证毕.

设∀t>0，∀ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

注2取Φ(t)=βt，∀t∈+，0<β<1，则Φ∈Φ1.

证明：由引理2条件有

(1)

其中，Φm(t)表示Φ(t)的n次迭代函数.下证gFx0，x1，xs，a2，…，an-1(t)=0，s=0，1，2，….事实上，当s=0，1时gFx0，x1，xs，a2，…，an-1(t)=0显然成立.设gFx0，x1，xs，a2，…，an-1(t)=0对s≤k-1成立，现证对k也成立.由式(1)可推得

gFx0，x1，xk，a2…，an-1(t)≤gFxk-1，x1，xk，a2，…，an-1(t)+gFx0，xk-1，xk，a2，…，an-1(t)+

…+gFx0，x1，xk，a2，…，xk-1，an-1(t)+gFx0，x1，xk，a2，…，an-2，xk-1(t)≤

2 主要结果

定理1设(X，F，Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率n-度量空间.T，S：X→X是两映象，对∀x，y∈X，t>0，有

(2)

其中Φ∈Φ1，∀ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

证明：对x0∈X，可归纳定义序列{xm}为x2m+1=Tx2m，x2m+2=Sx2m+1，m=0，1，2…，注意到如果对某个m，xm=xm+1，则xm是T与S在X上一公共不动点.事实上，如果对某个m，x2m=x2m+1，则x2m是T不动点.由式(2)有

gFx2m+2，x2m+1，a1，…，an-1(t)=gFSx2m+1，Tx2m，a1，…，an-1(t)≤

于是gFx2m+1，x2m+2，a1，…，an-1(t)=0，即x2m+1=x2m+2.因此，x2m是T与S在X上一公共不动点.如果对某个m，x2m+1=x2m+2，则类似如上证明，由式(2)可得x2m+1是T与S在X上一公共不动点.假设对任意m≥0，xm≠xm+1，由式(2)，对∀t>0，有

gFx2m+2，x2m+1，a1，…，an-1(t)=gFSx2m+1，Tx2m，a1，…，an-1(t)≤

(3)

在式(3)中取a1=x2m，有

因此，gFx2m+1，x2m+2，x2m，a2，…,an-1(t)=0.由式(3)，对∀t>0，有

(4)

同理对∀t>0，有

于是对m=0，1，2，…，∀t>0，有

连续重复上述步骤m次，有

(5)

下证{xm}是Cauchy序列.对∀k，m∈：k>m，注意到Φ∈Φ1，g∈Ω，由式(5)和引理2有

Fxm，xk，a1，…，an-1(t)≥Δ(Fxm+1，xk，a1，…，an-1(ct)，(Fxm，xm+1，a1，…，an-1(t)，Fxm，xk，xm+1，a2，…，an-1(t)，…，Fxm，xk，a1，…，an-2，xm+1(t)))≥

Δ(Δ(Fxm+2，xk，a1，…，an-1(c2t)，Fxm+1，xm+2，a1，…，an-1(ct)，Fxm+1，xk，xm+2，a2，…，an-1(ct)，…，Fxm+1，xk，a1，…，an-2，xm+2(ct))，

(Fxm，xm+1，a1，…，an-1(t)，Fxm，xk，xm+1，a2，…，an-1(t)，…，Fxm，xk，a1，…，an-2，xm+1(t)))=

从而gFz，Sz，a1，…，an-1(t)=0，于是z=Sz.故z是T与S在X上的一公共不动点.类似地，若S连续，则T与S在X上有一公共不动点.假设T与S在X上还有另一公共不动点w.由式(2)有

因此z=w.证毕.

如果(X，F，Δ)是非阿基米德Menger概率n-度量空间，取

则由引理1知(X，F，Δ)是(D)g型非阿基米德Menger概率n-度量空间，其中g(t)=1-t，t∈[0，1].于是由定理1有：

其中Φ∈Φ1，∀ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

在定理2取Φ(t)=βt，∀t∈+，0<β<1，则有：

其中∀ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

注3可把本文结果推广到积分型四个映象的情形.