关于非参数统计中几种双样本位置参数检验方法的分析

曹淑娟， 李佳泽， 周 晨

(天津工业大学 数学科学学院，天津 西青 300387)

0 引言

非参数统计是统计学的一个重要分支，是21世纪统计理论的重要发展方向之一。传统的参数方法强烈依赖于对总体分布的假设，而非参数统计与总体分布几乎没有什么关系，不用假定特定的总体分布，仅需要一些非常一般性的假设(例如连续分布、对称分布等)，利用样本观察值中一些比较直观的信息进行统计推断，有许多学者和教师在教学和研究中都提到非参数统计的这一特点，并利用非参数统计解决具体的问题[1-2]。也因为如此，非参数统计成为一门应用性和研究性兼具的核心课程[3]。

在实际问题中，常常需要比较两个总体的位置参数，如两种市场营销策略哪种更有效，两种汽油哪一种对环境的污染更少，两种训练方法哪一种更出色等，如果总体的分布未知，就需要用到非参数统计中的两样本位置参数的检验方法了。笔者根据文献[4-6]总结了4种两样本位置参数检验方法：符号检验、Brown-Mood中位数检验、Wilcoxon秩和检验和Wilcoxon-Mann-Whitney检验，针对不同的假设检验问题，选择不同的检验统计量，以表格的形式简洁地描述了不同的拒绝域的具体形式和求p值的方法。最后分别用这4种检验方法解决一个实际问题。

1 非参数统计中两样本位置参数检验

1.1 符号检验[4，6]

表1 符号检验的基本内容Tab.1 Basic content of sign test

当样本量n足够大(>10)时，由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理可知

表2 符号检验大样本的基本内容

1.2 Brown-Mood中位数检验[5]

假设X1,X2,…,Xm；Y1,Y2,…,Yn是两组相互独立的样本，来自两个分布F(x)和F(x-μ)，有相应的中位数mex和mey。假设检验问题为H0：mex=mey。在原假设成立的情况下，如果两组数据有相同的中位数，则将两组数据混合后，两组数据的混合中位数mexy与mex相等，两组数据应该比较均匀分布在mexy两边。因此，与符号检验类似，检验的第一步是找出混合数据的样本中位数Mxy，将X和Y按照分布在Mxy的左右两侧分为4类，对每一类计数，形成四格表如表3。

表3 Brown-Mood中位数检验的四格表

令A，B，C，D表示表3中4个类别的样本点数，A表示X样本中大于Mxy的个数。t表示混合样本中大于Mxy的个数，它依赖于m+n的奇偶性，当m，n和t固定后，A的分布在原假设下服从超几何分布A～H(t,m,N)，其概率的计算公式为

表4 Brown-Mood中位数检验的基本内容

注意:两样本数据混合之后排秩，找出中位数Mxy后，如果样本数据中存在与中位数一致的样本数据，应该删除。

表5 Brown-Mood中位数检验大样本的基本内容

1.3 Wilcoxon秩和检验[5-6]

Wilcoxon秩和检验是Wilcoxon于1945年提出的，在应用上有重要意义。它的提出，极大地推动了有关秩的方法的发展。假设X1,X2,…,Xm；Y1,Y2,…,Yn是两组相互独立的样本，来自两个分布F(x)和F(x-μ)，同Brown-Mood中位数检验法一样，可以分别记X和Y的中位数mex和mey。在mex>mey时，认为X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn混合之后，从小到大排秩，Y样本Y1,Y2,…,Yn倾向排在前面，而mex

表6 Wilcoxon秩和检验的基本内容

表7 Wilcoxon秩和检验大样本的基本内容

1.4 Wilcoxon-Mann-Whitney 检验[5-6]

Wilcoxon-Mann-Whitney检验是Mann和Whitney于1947年提出的，是Wilcoxon秩和检验的推广，但是与Wilcoxon秩和检验区别不大。Wilcoxon-Mann-Whitney检验统计量表示混合样本中X观测值小于Y观测值的个数，表达式为

其中，ri=#{xi

与Wxy相对应的，有

其中，rj=#{xi>yj,i=1,2,…,m}，j=1,2,…,n。显然，Wxy+Wyx=mn。

2 实例分析

有关国内南北方34座主要城市的年平均气温差异研究。数据来源于2017年中国统计年鉴“国内南北方划分主要依据秦岭—淮河一线及其延长线”[7]，数据如表8和表9。在对国内南北方的年平均气温差异研究中，收集了国内34座主要城市2017年度的年平均气温数据，用来研究南北地区的年平均气温是否存在显著差异(在对总体不作任何分布假设的前提下)。

表8 2017年南方城市的年平均气温/℃

表9 2017年北方城市的年平均气温/℃

设国内南方城市平均气温的中位数为mex；国内北方城市平均气温的中位数为mey。建立问题：原假设H0:mex=mey；备择假设H1:mex>mey，显著性水平α=0.05。

2.1 符号检验法的实例分析

针对上面检验问题，计算检验统计量的实验值，Z+=17；即当显著性水平α=0.05时，拒绝域为w={Z+>12}。检验统计量Z+落入拒绝域中，所以拒绝原假设。或计算p值：p(b(N,1/2)≥Z+)，算得p值为0，远远小于α=0.05，所以拒绝原假设，接受备择假设。认为在2017年国内南方城市年平均气温显著高于北方城市年平均气温。

2.2 Brown-Mood中位数检验法的实例分析

对南北城市的平均气温混合排秩，如表10，其中南方城市的样本数据个数为17，[]中是北方城市的17个样本数据。

表10 南北城市的平均气温混合秩

计算混合样本中的中位数mexy=15.65，国内南方城市中平均温度低于混合样本的中位数的个数2;高于混合样本中位数的个数15，国内北方城市中平均温度低于混合样本的中位数的个数15;高于混合样本中位数的个数2；四格表如表11。

表11 气温比较四格表

计算p值近似为0，小于α=0.05，所以拒绝原假设，接受备择假设。认为在2017年国内南方城市年平均气温显著高于北方城市年平均气温。

2.3 Wilcoxon秩和检验和Wilcoxon-Mann-Whitney检验的实例分析

如同Brown-Mood中位数检验法的实例分析，Wilcoxon秩和检验要对南北城市的平均气温混合排秩，求出秩和

Wx=427.5，Wy=167.5。

选取Wy作为检验统计量。由于数值较大，查表无法实现，可以考虑基于大样本下的Wilcoxon 秩和检验的渐进正态分布，在此不详述。因为Wilcoxon 秩和检验和Wilcoxon-Mann-Whitney检验完全等价，Wilcoxon-Mann-Whitney检验是Wilcoxon秩和检验的推广，因此用Wilcoxon-Mann-Whitney检验即可。

Wilcoxon-Mann-Whitney检验也得先对南北城市的平均气温混合排秩，选取检验统计量

得到检验统计量的实验值Wyx=Wx-m(m+1)/2=274.5。

当m=17,n=17,算得p值4.07E-06远小于α=0.05，所以拒绝原假设，接受备择假设。认为在2017年国内南方城市年平均气温显著高于北方城市。

3 结束语

非参数统计常用的两样本位置参数检验方法有符号检验、Brown-Mood中位数检验法、Wilcoxon秩和检验以及它的推广Wilcoxon-Mann-Whitney检验等。

符号检验是非参数统计中很古老的检验法，主要是利用正、负号的数目对某种假设做出推断。优点是简单方便，并不要求知道被检验量的分布规律，所以用途十分广泛。符号检验法只考虑了正、负号的个数，而没有考虑到数据大小的信息，这就导致了数据信息有所损失，精确度不高。当两样本的样本容量相差较大的时候，需要舍弃较多的数据，数据信息损失更多，符号检验法适用于两样本的数据量一致的情况。

Brown-Mood中位数检验的主要思想是将两样本混合起来排秩，将两样本中大于或小于混合样本中位数的数据个数进行计数，绘制四格表，利用超几何分布进行检验。

Wilcoxon秩和检验主要对两样本数据混合排秩，并计算秩和检验统计量进行检验。当样本数据量较大时，统计量值太大不易处理，可用其统计量的渐近分布解决，或用其推广的方法——Wilcoxon-Mann-Whitney检验法，这两种方法本质上是等价的，一般采用后者进行检验。当样本数据充分大的时候，考虑基于大样本下的渐近正态分布，利用正态分布进行显著性检验。这两种方法既考虑了数据的符号，又考虑了数据大小信息，较符号检验更为全面考虑数据的相关信息。

这些非参数检验方法的共同优点是，不知总体分布的时候也可以使用，但是它们有一个共同的缺点，即，当数据符合参数检验条件时，这些非参数检验没有充分运用数据信息。