整变量混合幂为3，5的非线性型的整数部分

蒋颜如

(华北水利水电大学 数学与统计学院,河南 郑州 450046)

1 基础知识

1.1 记号

p表素数，xi表自然数，δ>0且很小，ε>0且绝对小。隐含在符号≪,≫与O中的常数仅与λ1,λ2,…,λ6有关。记e(x)=exp(2πix),[x]表示x的整数部分，常数C不是相同的值。X是一个较大正整数，至少得有一个λi/λj(1≤i

|λ1/λ2-a/q|≤q-2,(a,q)=1,q>0,a≠0，

根据λ1,λ2,…,λ6的取值，相应地取很大的q，定义如下，

令v是大于0的实数，

(1)

计算(1)得

Kv(α)≪min(v,v-1|α|-2)，

(2)

(3)

1.2 其他幂次的一些结果

1.3 结论和证明思路

笔者在前面结果的基础上考虑了混合幂次为3和5的情况，具体结论如下。

为了证明定理1，将问题转化成下面的积分，由(1)～(3)式易得

(4)

2 计算积分J

2.1 M上的积分

先整理出计算积分时要用到的相关引理及其证明。

假如|α|∈M，由引理1，取a=0,q=1,|α|=|β|≤τ=N-1+δ,

F(α)=f(α)+O(X3δ),G(α)=g(α)+O(X3δ),H(α)=h(α)+O(X3δ)。

引理2[6]设ρ=β+iγ是ζ(s)函数的零点，定义

则

S(α)=I(α)-A(α)+B(α)，

(5)

(6)

(7)

证明参考文献[7]中的(5.14)式计算

将每一项依次带入式(5)～(7)和引理3中，能得到积分

证明将左边积分带入式(3)得

带入积分中计算

2.2 m上的积分

引理7

(8)

(9)

(10)

证明将(2)式带入，并使用华罗庚不等式,计算得

i=1,2，同理可证式(9)和式(10)。

引理8[5]假设有(a,q)=1,|α-a/q|≤q-2,φ(x)=αxk+α1xk-1+…+αk-1x+αk,即有

证明选取合适的aj和qj,j=1,2,使满足

|λ1α-aj/qj|≤qj-1Q-1,(aj,qj)=1,1≤qj≤Q。

(11)

首先，从α∈m容易知a1a2≠0。其次，可以假设q1>P或q2>P。若有q1,q2≤P,

证明将E(α)的上界带入左边的积分式子中，同时利用Hölder不等式计算得

2.3 t上的积分

引理11[8-9]设G(α)=∑e(αf(x1,x2,…,xm)),其中f表示实函数，对x1,x2,…,xm进行求和，其中xi取自有限集。∀D>4,

(12)

引理12[9]

证明将(8)～(12)式带入左边的积分进行计算，

(13)