在专题复习中提升数学核心素养<br/>——以“几何综合性问题”为例

在专题复习中提升数学核心素养
——以“几何综合性问题”为例

2020-08-13广东省广州市第二中学

中学数学研究(广东) 2020年14期

关键词：作图四边形变式

广东省广州市第二中学温晖

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出,在数学课程中要注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识[1].这十个核心词是初中数学核心素养的集中表现.

如何提升学生的数学核心素养,是初中数学专题复习的价值追求.变式教学是中国数学教育的基本经验[2].变式教学有利于学生理解数学本质,形成数学知识技能,提炼数学思想方法,形成数学思维品质,培育学生的数学核心素养.

1 初中数学专题复习的教学特征

1.1 数学专题复习的基本特点

数学专题复习既要梳理所学知识、完善知识结构,又要揭示数学思想方法、提炼解题模式、完善认知结构、提升学生的数学核心素养.中考数学专题复习课具有两个基本特点:

(1)结构化.数学专题复习课要精选复习专题,通过典例分析和讲解,强化学生对数学双基的理解和掌握,将知识和方法结构化,完善学生的数学知识结构和认知结构.

(2)模式化.数学专题复习课要通过专题演练,优化数学思维方式,强化通性通法和一般解题策略,形成一类问题的解题模式,帮助学生形成知识迁移能力和解决问题能力,提升学生的数学核心素养.

1.2 数学专题复习的教学目标

数学专题复习课的主要教学目标是使知识结构化和模式化,提升学生的数学思维能力和数学核心素养.

1.3 数学专题复习的教学模式

数学专题复习课的常见操作模式有两种:

先讲后练式:知识梳理——重点评析——问题变式——总结提炼——专题演练.

先练后讲式:解题尝试——典例示范——变式探究——回顾反思——专题演练.

2 初中数学专题复习的教学实录

案例几何综合性问题.

教学环节1:解题尝试.

教师先让学生演练题目(依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第87 页例4 改编):已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接AD,BD,则四边形ACBD的周长为____.

(教学意图:复习圆的有关性质及勾股定理.)

解题过程:略.

教学环节2:典例示范.

教师:改变确定点D的条件,增设尺规作图要求,可得如下考题.

例(2019年广州市初中毕业生学业考试第23 题)如图1,⊙O的直径AB=10,弦AC=8,连接BC.

(1)尺规作图:作弦CD,使CD=BC(点D不与B重合),连接AD(保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)的条件下,求四边形ABCD的周长.

(教学意图:以中考真题梳理几何综合性问题的知识结构,建构解题模式,提升学生的数学核心素养.)

教师:这道题目的解题目标是什么?

生1:第(1)问,在⊙O中作弦CD,使CD=BC.

生2:第(2)问,求四边形ABCD的周长.

师:在第(1)问中,如何作图?

学生得到第(1)问的如下3 种尺规作图.

图1

图2

图3

图4

师:很好!作一条线段等于已知线段,是五个基本作图之一(另四个为:作一个角等于已知角,作一个角的平分线,作一条线段的垂直平分线,过一点作已知直线的垂线).下面来探讨第(2)问的解法,如何求四边形ABCD的周长?

生3:如图2,在RtΔACB中,由勾股定理得BC=由(1)知CD=BC=6,欲求四边形ABCD的周长,需求AD的长.

师:很好!如何求AD的长?

生4:利用三角形中位线定理求AD的长,解题过程如下.

解法1如图5,连接BD,CO交于点E.因为CD=BC=6,即=.由垂径定理,得OC垂直平分BD.

设OE=x,则CE=5-x.在RtΔCBE和RtΔOBE中,由勾股定理得BC2-CE2=BE2=OB2-OE2,即62- (5-x)2=52-x2,解得x=1.4.因为O是AB中点,E是BD中点,所以OE是ΔABD的中位线,所以AD=2OE=2.8.所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10+6+6+2.8=24.8.

生5:利用相似三角形知识求AD的长,解题过程如下.

图5

图6

解法2如图6,延长AD,BC交于点F.因为CD=BC=6,即=.所以∠CAB=∠CAF.因为AB为直径,所以∠ACB=90°,所以∠ACF=180°-∠ACB=90°,又AC=AC,所以ΔACB≌ΔACF.所以AF=AB=10,CF=CB=6.所以BF=BC+CF=12.

因为∠CDF+∠CDA=∠ABF+∠CDA=180°,所以∠CDF=∠ABF,又∠CFD=∠AFB,所以ΔABF∽ΔCFD.所以即DF=7.2.所以AD=AF-DF=10-7.2=2.8.所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10+6+6+2.8=24.8.

生6:构造直角三角形,求AD的长,解题过程如下.

解法3如图7,在AB上截取AG=AD,作CH⊥AB于H,连接CG.因为CD=BC=6,即=,所以∠CAB=∠CAD.易得ΔACD≌ΔACG.所以CG=CD=CB=6.

在RtΔACB中,由面积相等得CH==4.8,所以BH=HG==3.6,AG=AB-2BH=2.8.所以四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10+6+6+2.8=24.8.

师:很好!本题涉及哪些知识和方法?

生众:本题涉及作一条线段等于已知线段、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等弧所对的圆周角相等、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的周长等基础知识,及方程和转化思想.

教学环节3:变式探究.

学生完成上述考题的解答后,教师引导学生变式探究.

师:将直角三角形改为等腰三角形,改变题目条件与解题目标,可得变式1.

图7

图8

变式1如图8,ΔABC中,AB=AC=BC=8.

(1)利用尺规作以AC为直径的⊙O,并标出⊙O与AB的交点D,与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)的条件下,

①求证:DE=EC;

②求点D到BC的距离.

(教学意图:强化圆的有关性质和三角形的相关知识,突出几何直观、推理论证和运算求解,增强综合解题能力,进一步提升学生的数学推理与运算素养.)

师:第(1)问需要做什么?

生7:作以AC为直径的⊙O.

师:怎样作以AC为直径的⊙O?

生8:需要确定圆心位置和半径大小.

生9:因为AC为直径,所以AC中点为圆心O,线段OA或OC的长为半径.

学生完成第(1)问作图,如图9.

图9

图10

师:在第(2)问中,如何证明DE=EC?

生10:(证法1)如图10,连接DE,AE.因为AB=AC,所以∠B=∠C.由圆内接四边形的性质,得∠C=∠BDE.所以∠B=∠BDE,所以BE=DE.因为AC是⊙O的直径,所以∠AEC=90°,所以AE⊥BC.又AB=AC,所以BE=EC,所以DE=EC.

生11:(证法2)如图11,连接AE.因为AC是⊙O的直径,所以∠AEC=90°,所以AE⊥BC.因为AB=AC,所以∠BAE=∠CAE,即=,所以DE=EC.

师:很好!下面探讨如何求点D到BC的距离?

生12:如图12,过点D作DF⊥BC于点F,则线段DF的长就是点D到BC的距离.

师:如何求线段DF的长?

生13:在RtΔBFD中求DF,解题过程如下.

图11

图12

解法1如图12,过点D作DF⊥BC于点F,连接CD.因为AB=AC=BC=8,AE⊥BC,所以BE=EC=4.因为DE=EC,所以BE=DE=4.在RtΔAEB中,由勾股定理得AE==8.

因为AE⊥BC,DF⊥BC,∠ABE=∠DBF,所以RtΔAEB∽RtΔDFB,所以即在ΔABC与ΔEBD中,∠ABC=∠EBD,∠ACB=∠EDB,所以ΔABC∽ ΔEBD,所以即所以所以

生14:建立关于BD的方程,求BD的长.

解法2如图13,过点D作DF⊥BC于F,连接CD.因为AB=AC=BC=8,AE⊥BC,所以BE=EC=4.因为DE=EC,所以BE=DE=4.在RtΔAEB中,在RtΔBFD中,sinB=即

设BD=x,则AD=-x.因为AC是⊙O的直径,所以∠ADC=90°,所以∠BDC=90°.在RtΔADC与RtΔBDC中,由勾股定理得AC2-AD2=CD2=BC2—BD2,即解得即所以

师:改变题目条件与解题目标,可得变式2.

图13

图14

图15

图16

变式2(2018年广州市初中毕业生学业考试第23 题)如图14,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB＞CD,AD=AB+CD.

(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);

(2)在(1)的条件下,

①证明:AE⊥DE;

②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.

(教学意图:强化三角形中核心知识的运用,突出几何直观、推理论证和运算求解,增强综合解题能力,进一步提升学生的数学推理与运算素养.)

师:能解决第(1)问吗?

生15:能,如图15所示.

师:能证明AE⊥DE吗?请分享解法.

生16:(证法1) 如图16,作EF⊥AD,垂足为F.因为DE平分∠ADC,所以∠FDE=∠EDC.在ΔFDE与ΔCDE中,∠C=∠DFE=90°,∠FDE=∠CDE,DE=DE,所以ΔFDE≌ΔCDE,DF=DC.因为AD=AB+CD,所以AF=AD-FD=AB.在RtΔFAE与RtΔBAE中,因为AE=AE,AF=AB,所以RtΔFAE≌RtΔBAE,∠FAE=∠BAE.因为∠B=∠C=90°,所以∠B+∠C=180°,所以AB//DC.所以∠CDF+∠BAF=180°,∠EDF+∠EAF=90°.所以∠AED=90°,即AE⊥DE.

图17

图18

生17:(证法2)如图17,延长DE交AB的延长线于点F.因为∠B=∠C=90°,所以DC//BF.因为DE平分∠ADC,所以∠CDE=∠EDA=∠F,所以AD=AF,所以ΔADF是等腰三角形.因为AD=AB+CD,AF=AB+BF,所以DC=BF.

在ΔEDC与ΔEBF中,∠C=∠EBF,CD=BF,∠CDE=∠F,所以ΔEDC≌ΔEBF,ED=EF.所以AE是底边DF的中线.因为AE⊥DF,所以AE⊥DE.

师:很好!下面探求BM+MN的最小值.

生18:(解法1)如图18,连接FB,作FN⊥AB,垂足为N,交AE于M,过D作DK⊥AB于K.由RtΔFAE≌RtΔBAE,得EF=EB,因为AF=AB,所以AE垂直平分BF,点B关于直线AE的对称点是F,因为∠B=∠C=90°,所以四边形BCDK是矩形.所以BK=CD=2.因为AB=4,所以AK=2.因为AF=AB=4,AD=AB+CD=6,所以

在RtΔADK中,sin ∠DAK=在RtΔAFK中,sin ∠FAN=所以FN=因为BM+MN=FM+MN≥FN,所以BM+MN的最小值为线段FN.所以BM+MN的最小值是

生19:(解法2)如图19,过点B作BG//DF,交AD于点G,过点G作GN⊥AB于点N,交AE于点M.因为BG//DF,所以ΔABG∽ΔAFD.所以因为DC//BF,AE垂直平分DF,AD=AF=AB+CD,所以AE垂直平分GB.因为CD=2,AB=4,所以AF=6,AG=4.所以