借助几何直观发展学生核心素养

李延江 王俊玲

[摘要]借助“几何直观”用数学图形或符號表达抽象的数学语言，使复杂的数学问题变得简单、形象，帮助学生直观地理解数学，把握数学本质，感悟数学思想，发展学生的核心素养。

[关键词]几何直观;数学思考;核心素养

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020）26-0063-02

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”也就是说，几何直观可以把抽象的数学语言通过数学图形或符号进行表达，帮助学生直观地理解数学。对此，笔者以苏教版教材六年级“圆柱和圆锥”的有关问题为例，谈谈如何借助几何直观发展学生的核心素养。

一、借助直观，化静为动，培养抽象思维

数学的显著特点是抽象，因此给学生的学习带来了一定的困难，而几何直观既能提高学生的学习兴趣，又可以帮助学生理解题意，把复杂问题变得简单、形象。

例如，教材上的一道习题（如图1），由于题中给出直观图示，学生很容易找到两个圆柱的底面半径和高，进而解决问题。

可是学生在解决“把一张长4厘米、宽3厘米的长方形纸分别绕它的长和宽旋转一周，形成两个圆柱，它们的体积分别是多少？”这一问题时，却出现把旋转的一条边当作直径来计算的问题，究其原因是题目的文字表达比较抽象，难以理解。通过操作长方形学具，学生明白：旋转时，长方形的一条边就是所形成圆柱的底面半径，另一条边就是所形成圆柱的高。借助几何直观能帮助学生直观理解，纠正偏差。接着师生进一步交流讨论：

师：两个圆柱的体积哪个大？为什么？

生1：通过计算我发现，短边为轴，长边就是所形成圆柱的底面半径，这时圆柱的体积大。

师：任意一个长方形绕着它的长或宽旋转一周，形成的圆柱体积都有这样的规律吗？

（学生小组合作，举例验证了这个规律）

师：如果用a表示长方形的长，6表示长方形的宽，你能证明自己的发现吗？

生2：V1=πa2b，V2=πb2a。两个体积公式中相同的部分是πab，只需要比较a和b的大小。因此，长边为半径、短边为轴时所形成的圆柱体积大。

师：把一个长是18.84厘米，宽是12.56厘米的长方形纸，沿着它的长或宽卷成两个大小不同的圆柱，怎样卷得到的圆柱体积大？为什么？

生3：把长方形的长作为圆柱的底面周长，这时卷成的圆柱体积大。（如图2）

师：你又什么发现？

生5：不管是沿着边旋转还是卷起来，只要半径大，所形成的圆柱体积就大。

生6：画图作用非常大，它可以把复杂问题变得简单、形象。

借助直观图，化静为动，不仅使学生解决了“哪个圆柱体积大？”的问题，学生还在观察、比较、操作和验证中发现了这类问题的共性及规律，同时也让学生经历和体验了从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养了学生的抽象思维。

二、运用直观，以分聚合，发展推理能力

数学中的有些问题不仅抽象而且隐蔽，学生很难发现，而运用几何直观则可以把抽象的数学问题变得具体可视、简洁明了，便于学生理解和掌握。

例如，对于“一根圆柱体木料的底面半径是0.3米，长是2米，把它平均截成4段后，这些木料的表面积比原来木料的表面积增加了多少平方米？”有学生提出：用平均截成4段后这些木料的表面积之和减去原来木料的表面积，就知道增加了多少。之所以提出这种解决方案，是因为学生缺乏对题目的直观理解。这时，教师可启发学生先想象如何用一个“图”来表示题意，然后再把它画出来。（展示学生作品，如图3）

通过直观图，学生惊奇地发现：把圆柱体木料平均截成4段，其表面积比原来增加了6个（2x3）圆柱的底面积，而且这种方法比上述方法更加简便。

教师再给出题目：一根圆柱体木料的底面半径是0.3米，长是2米，把它平均截了4次后，这些木料的表面积比原来木料的表面积增加了多少平方米？

有了之前画图的经验，学生就会用画图表示题意，于是发现：把圆柱体木料平均截了4次后，其表面积就增加了8个圆柱的底面积。在比较中，学生还发现了其中的规律：每截1次圆柱体木料，其表面积就增加它的2个底面积。

又如，“把一个高为10厘米的圆柱沿着它的底面直径切成相等的两半，其表面积增加了8C平方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？”根据学习经验，学生会通过画图寻找表面积增加的部分在哪里。（展示学生作品，如图4）

在直观图的帮助下，学生很容易看出表面积增加的部分就是2个长方形的面积，且长方形的长是圆柱体的高，宽是圆柱体的底面直径，问题便轻松得以解决。

面对圆柱的分割问题，学生很难找到解决问题的突破口，运用几何直观，以“分”聚“合”，就可以把抽象的文字以及学生看不到的数学知识直观地呈现出来，再通过观察、比较等活动，学生不仅解决了问题，还掌握了这类问题的特点及规律，发展了推理能力。

三、把握直观，由此及彼，感悟数学思想

数学是一门系统性强、逻辑严密的学科，在教学中教师要善于利用几何直观，帮助学生探索解决问题的思路，理解数学的本质及内涵。

例如，一个圆柱的侧面展开图是一个边长为12.56厘米的正方形，如果将这个圆柱切拼成长方体，它的表面积增加多少平方厘米？

从条件中可以知道圆柱的高，也能求出它的底面半径，但表面积增加的部分在哪里、是什么形状的，学生都不清楚，这时就要鼓励学生脑中有“图”，于是学生想到了圆柱体积公式的推导，并主动拿出学具进行操作（如图5）。

通过观察，学生发现：圆柱被切拼成长方体后，它的体积没有变化，表面积却增加了.且增加的表面积就是长方体中左右2个长方形的面积，这个长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。

又如，一种玻璃水瓶（如图6），下部是圆柱形，上部是一个不规则的立体图形。瓶子里面装有180毫升的水，瓶子平置时水的高度如图7，倒置时无水部分的高度如图8，求这个玻璃瓶的容积。

对于这个问题，学生感到很茫然，因为这个瓶子是一个不规则的立体图形，无法直接用某一公式来计算它的容积。为此，教师可利用直观图形启发学生思考：玻璃水瓶水平倒置前后，什么变了，什么没有变？交流中学生发现：无论玻璃水瓶是否倒置，玻璃水瓶的容积=瓶内水的体积+无水部分的体积;玻璃水瓶倒置前后，水的体积与无水部分的体积都没有变化;倒置前，瓶内水的形状是一个圆柱，而倒置后，无水部分的形状变成一个圆柱，这两个圆柱的体积之和就是玻璃水瓶的容积;等等。

通过学具操作，由“此”及“彼”，复杂问题变得更加形象、简单，学生在“变”与“不变”中理解数学的内涵，不仅知其然还知其所以然。这一过程，学生不仅解决了问题，还从中感受转化的思想方法，体会同中求异、异中求同的辩证思维，更为重要的是发展了数学思维，感悟了数学思想。

总之，几何直观不仅仅存在于“图形与几何”这一领域，在数学的其他领域中也有着广泛的应用。教学师要充分利用几何直观，引导学生经历把复杂问题变得简单形象，把抽象问题变成具体可视，把未知转化成已知的学习过程，帮助学生不断积累利用几何直观进行数学思考的经验，培养学生的几何直观能力，发展学生的核心素养。

[参考文献]

中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准（2011年版）[s].北京：北京师范大学出版社，2012.

（责编黄春香）