基于“问题引领”在课堂中提升学生数学核心素养

摘 要：通过教师与学生的交流，以问题引领学生思考、交流、探究，并通过设置情境、模型分析、启发引导、猜想验证等，引发学生主动进行知识建构、方法探究，将核心素养落实在课堂，在课堂中提升学生的数学核心素养。

关键词：核心素养;问题引领;探索交流;异面直线

一、教学理念

基于问题链的数学教学理念，主要是利用数学问题链为学生提供数学发展的脉络及其背后的数学方法论。数学模式包括思维模式和量化模式两种：思维模式是人们对客观世界的认识过程，而量化模式是人们对客观世界的认识结果。因此强调数学是一种模式，不仅要重视模式的结果，即数学知识的传承，还应该重视模式的建构过程，也就是数学知识的来龙去脉，包括知识、方法间的类比、转化，从而在教学中体现知识、方法相互之间甚至数学思考研究视角间的关联。

上述理念强调学生对已有知识及一般问题解决方法的感悟，更凸显面对问题如何运用数学知识与方法进行解决的过程。因此，在学生思考过程中利用问题链将注意力在高层次策略性知识与低层次描述性、程序性知识之间进行转换，通过教师对思维策略的有意识渗透，进而不断优化解决问题的过程。

二、学情分析与重难点分析

本节课是数学必修2第二章2.1.2“空间中直线与直线之间的位置关系”，主要学习内容有二：异面直线的概念;异面直线所成的角。

本节课是对学生原有的平面知识结构的拓展;同时，空间直线位置关系的研究方法对今后立体几何的学习有指导意义。空间直线的三种位置关系中，相对于相交直线和平行直线，学生对异面直线的概念比较生疏。他们已经掌握平面内两条直线的位置关系，为探究空间关系打下基础;公理四和等角定理为异面直线所成角概念的完善提供了理论依据。从定性、定量两个方面来解决空间异面直线的概念和所成角问题，使学生初步建立起学习立体几何问题的方法。

重点、难点：异面直线的概念与异面直线所成角

三、教学目标

1.知识与技能

（1）理解空间两条直线的位置关系，能判断两直线是否为异面直线。（2）理解两异面直线所成角的概念，会求简单的异面直线所成角。

2.过程与方法

经历直观感知、操作确认、逻辑推理、定量计算的研究过程。在此过程中，突出平面和空间相关命题的类比，学习合情推理的探究方法。在求空间角时，通过将空间角转化为平面角，体会化归的思想方法。

3.数学的核心素养

培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

四、教学策略

通过直观感知、操作确认、定性描述、定量计算这一研究过程，探求异面直线的概念和异面直线所成角。

五、教学过程

1.创设情境，引出课题

秋天/是一个伤感的季节/某年某月某日/我和你都幻化成了两条直线（不同的直线）/在我们曾经走过的同一平面的日子里/我和你或是并肩前行又或是相遇于一点/但这是我们曾经的过往/走入三维的空间/我们也许不能再并肩而行/又无法相遇/我们之间到底怎么了呢/

师：走入三维空间的他们，到底怎么了呢？老师感觉到他们有一个心结。今天，就让我们一起走入三维空间，看看空间中两条直线具有怎样的位置关系？

设计意图：借用以两条直线位置关系为意象的小诗，激发学生的兴趣，同时引入课题。

2.定性探究异面直线的概念

探究一：空间中两条直线的位置关系主要有哪些？

活动1：同学们，我们利用两支笔进行操作：

摆在同一平面内平行→平行，相交→共面直线

相交→改变距离（平移）→不平行，不相交→给出异面直线的名称。

师：请同学们准备两支笔，我们把這两支笔当成两条直线，当你把两支笔放在桌面内时，你有什么发现？

学生A：这两条直线平行或是相交。

师：接下来，我们把两支笔摆在相交位置，一支笔不动，当你试着平移另一支笔，你又有什么发现？

学生B：他们不相交，也不平行。

师追问：那么他们还在同一个平面内吗？为什么？

学生B：不在。如果仍在同一平面内的话，两条直线的位置关系应该是平行或相交。

师：（肯定刚才两位同学的发现）这时，我们发现两直线有不平行也不相交这样的位置关系，那么这类直线的位置关系我们得给它一个名称吧，给出异面直线这个名称。

活动2：观察教室中有哪些既不平行也不相交的直线。

【设计意图】通过身边的事物直观感知，空间中两直线之间除了平行、相交外，还可以既不平行也不相交，引发学生的认知冲突与思考，给出异面直线。从概念的外延引出异面直线这一种新的位置关系。

学生C：教室的一排灯光所在的直线和一列同学所在的直线。

学生D、E：……

师：这几位同学观察到的直线（无线延长后），我们发现他们都不会相交也不平行。

活动：3：观察长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B'所在的直线与线段CC'所在的直线的位置关系如何？

【设计意图】在具体长方体中，初步感知异面直线既不平行也不相交这一特点。

问题1：怎样来定义两条直线为异面直线？

学生F：我觉得可以用既不平行也不相交来定义异面直线的概念。

学生G：F这样定义不好，这是从否定的角度来说的，我觉得应该是不在同一个平面内的两条直线。

师：F，G是从一个概念的内涵和外延出发来定义异面直线的概念、外延，我们发现两条异面直线既不平行也不相交，那么内涵呢？我们是否需要更加严谨一些下定义？

活动4：思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段AB所在的直线与线段A'B'所在的直线的位置关系如何？

【设计意图】通过活动推出异面直线的概念，使用反例来促使学生理解“不同在任何一个平面内的两条直线的位置关系是异面直线”，利用概念的内涵来描述异面直线。

活动5：总结空间中两条直线的位置关系。

问题2：如何运用图形刻画异面直线？

【设计意图】深化学生对空间中两条直线的位置关系的分类运用，并引发如何用图形语言来描述两条直线是异面直线。本环节，教师提问，调动学生思考，描述一个立体几何概念可以用文字语言、符号语言、图形语言三种形式来表示。让学生在辨别、反驳、抽象和完善的基础上，通过检验、概括来形成概念。

学生作图，然后用投影分析：

活动6：练一练：

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别是棱的中点，判断图①中A'B'和AC，图②中B'D'和AC，图③中AE和DD'，图④中EF和A'C'各自所在的直线之间的位置关系。

【设计意图】

（1）加强对异面直线概念的理解，并能在具体图形中判断两直线的位置关系。

（2）起到承前启后的作用。

由④引出平行公理、平行线的传递性。由①②感知两异面直线之间存在角度的不同。

活动7：观察与发现：

引导学生通过练一练④，发现空间中平行线的传递性。

平面中：如果两条直线与第三条直线平行，则他们相互平行。

↓类比 a∥b，b∥c？圯a∥c

空間中：平行于同一直线的两直线平行？圯公理4？圯描述两平行直线的传递性

【设计意图】通过观察和类比，从平面中平行的传递性推广到空间中平行的传递性。渗透知识的发生过程中所经历的观察、类比等思想方法，使学生积极体验和感受新知识的构建过程，培养学生类比的能力。

3.定量描述两条异面直线的位置关系

探究二：如何定量刻画两条异面直线的位置关系？

活动8：利用摆笔的操作

先将两支笔摆成相交→转动，感知角度的变化

再将两支笔摆成异面→转动，类比得出角度的变化

问题3：何为两条异面直线所成的角？

【设计意图】原有认知中，学生所认知的角是由两射线构成的角，可以度量，而异面直线所成的角在哪里呢？引发认知冲突。

活动9：回到（活动6）练一练中。让学生来描绘这里异面直线中所成的角。

【设计意图】学生在直观感知中初步体验异面直线所成角

活动10：思考在空间中任取O，作OE，OF分别平行AB，A'B'，直观感知角的大小。

【设计意图】引发认知冲突，引出空间等角定理。

活动11：观察与发现，通过平面到空间中的类比，引出等角定理。

【设计意图】引导学生从平面到空间中的类比，通过直观感知得出等角定理，为异面直线所成角的概念完善提供理论依据。在教学过程中，主要通过直观认知来给出空间等角定理，将空间等角定理的证明留给学生课后思考。

活动12：完善异面直线所成角的概念，并给出异面直线所成角的范围和两直线垂直的定义。

【设计意图】承上启下，引出垂直的概念。

探究三：

（1）观察长方体ABCD-A'B'C'D'中，是否有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？

（2）假设两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？

（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

【设计意图】通过探究异面直线所成角是否为直角来判断垂直关系，对刚认识的异面直线所成角的概念进行复习和巩固，在具体问题中，引导学生学会文字语言、图像语言、符号语言在数学描述时的相互转换，并通过（2）（3）给出由平面到空间中的类比结论不一定正确，需要通过辨析，反驳，论证。

4.从定性、定量两个方面巩固所学

活动13：

例1：空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，

DA的中点。

（1）四边形EFGH是什么四边形？并证明。

（2）当AC，BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？

（3）当AC，BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？

【设计意图】认识空间四边形，直观感知是异面直线。并利用公理四，初步培养学生演绎推理的能力。并利用探究式的问题，激发学生的认知兴趣。在（3）中，从异面直线所成角的概念出发，巩固学生所学。

活动14：

例2：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=2，AA'=2

（1）BC与A'C'所成角为多少度？

（2）AA'与BC'所成角为多少度？

【设计意图】利用异面直线所成角的概念通过作平行线将空间异面直线所成角转化为平面角问题进行处理并做一定的定量计算，明确求异面直线所成角的方法。

5.课堂小结

（1）结合课件与板书，师生一起总结本堂课所学。

师：本堂课中，我们运用直观感知、操作确认、定性描述、定量计算这一研究方法，探究了空间中两条直线的位置关系。

生：相交，平行，异面。

师：明确了异面直线的概念的内涵和外延。

生：不同在任何一个平面内（不平行也不相交）。

师：通过了由平面到空间的类比，我们给出了公理4和等角定理。并通过什么样的方法确定异面直线所成角？

生：作平行线（平移）。

师：这样，我们把空间角问题划归为平面问题，这为我们后续研究立体几何的空间角给出了方法指引。

（2）结语：

师：通过这节课的学习，我们能解开诗中他们的心结了吗？

生：秋天/又是一个收获的季节/你与我/并肩/相遇/异面/多样的我们/描绘了万千的世界和美丽的人生（课件）。

【设计意图】从知识与方法两条线总结本课，并有小诗作结语，体现数学自然的美与和谐。

六、教学反思

本节课的教学过程中，主要有两条主线：明线，知识的探索过程;暗线，方法的渗透过程。

第一，将大量的信息放在课件中，通过演示让学生学习。运用这种方式可以增加课堂容量，节省时间，把复杂而又抽象的空间几何问题用形象直观的图片和动画演示出来，学生在动脑思考和交互的过程中思维得到拓展与深化，更容易理解问题的本质，达到更好的教学效果。

第二，以生为本，采取主题式探究教法设置两个探究内容：

（1）空间中两条直线的位置关系有哪些？（2）如何定量刻画两条异面直线的位置关系？要求学生从定性、定量两个角度来解决空间异面直线的概念和所成角问题。调动学生探究的积极性，主动发现问题的本质，进而理解“平面问题”与“空间问题”中类比与转化化归的思想精髓。

第三，在整体教学过程中，突出平面和空间相关命题的类比，学习合情推理的探究方法。在求空间角时，通过将空间角转化为平面角，体会化归的思想方法，使得学生有较好的科学探索思想，逐步培养学生在解决立体几何问题中的化归和转换能力。

第四，通过探究发现、操作确认、定性描述、定量计算这些精心设计，培养学生的核心素养，例如数学抽象、逻辑推理、直观想象等。

当然，笔者在本堂课的教学和磨课过程中也有以下一些困惑与思考：

1.关于课时与教学内容的设置。按人教版教师教学用书上描述，2.1这一节内容安排约3课时，可以适当增加。而2.1.1这一节内容有三个公理及一般对确定一个平面的三个推论，教学内容多，而且学生初步学习立体几何，对文字语言、图像语言、符号语言的转化困难极大，所以一般会增加课时，而如果本节内容把异面直线的概念和异面直线所成角分为两个课时，由此略有困惑，想之，应该结合学生的具体学习情况，再做安排。

2.在教材探究一的处理上，意在通过激发学生空间想象能力，进而直观判断空间两条直线是否为异面直线，但这里缺少对异面直线判断的理论依据。笔者思考对于异面直线的判定定理是否需要给出。所以笔者在课堂教学中，是通过对异面直线的画法中，总结特点的形式，而给予判断。

3.空间等角定理，是否展开证明，还是停留在直观感知这一层面，从知识内容严谨性中给出辨析，反驳还需要更加严谨。

4.在给出异面直线的概念时，学生更易理解概念的外延：不相交也不平行，而概念的内涵：不同在任何一个平面内的两条直线，这里涉及特称命题与全称命题之间的转换，在课堂上，笔者没有很好地结合学生的实际，以更加通俗易懂的语言来做描述，留有些许遗憾。

参考文献：

[1]郭建华.问题引领思维对话，探究提升核心素养[J].中学教研，2018（5）.

[2]杨建.细研教材，对接高考培育核心素养[J].中学教研，2018（2）.

[3]刑田宇.基于“思维型”课堂的高中数学教学探討[J].中学数学教学参考，2019（5）.

[4]祁建新.注重数学思想引领，深化“现象教学”探究[J].中学数学教学参考，2019（5）.

作者简介：朱祖煌（1985.10—），男，绍兴诸暨人，大学本科，职称：高级教师，研究方向：高中数学。

编辑 赵飞飞