递推数列求通项新视角

高 召

(河南省三门峡市第一高级中学，472000)

满足an+1=an(n∈N*)的数列{an}为常数列,其通项公式为an=a1(n∈N*).由递推关系求数列的通项公式时,若能把递推关系转化为an+1=an的形式,就可以通过常数列这个新视角使问题得以简便快捷的解决.

一、an+1=pan+An+B(p≠0, 1, A2+B2≠0)型递推数列

例1已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an+3n+2,求{an}的通项公式.

评注对an+1=pan+An+B(p≠0, 1,A2+B2≠0)型递推数列,两边同除以pn+1,再由待定系数法,同理可得数列{an}的通项公式.

二、an+1=pan+Aqn(pqA≠0, p≠q)型递推数列

例2已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求{an}的通项公式.

解将an+1=2an+3n两边同除以2n+1,

an=3n-2n(n∈N*).

评注上述解法不难推广到an+1=pan+Aqn(pqA≠0,p≠q)型递推数列.

三、an+1=f(n)an+g(n)(f(n)≠0)型递推数列.

例3已知数列{an}中,a1=1,nan+1=(n+2)an+n,求{an}的通项公式.

=1,

得an=n2(n∈N*).

评注更一般地,对an+1=f(n)an+g(n)(f(n)≠0)型递推数列,可通过如下类似的方法构造常数列,使通项公式轻松获得.

bn+1=bn+h(n).

综上可见,对于符合以上几种情形的递推数列,都可以通过巧妙构造常数列的方法,简便快捷地求出其通项公式.