用射影定理处理三角问题——兼谈课本习题与高考试题的衔接

王国军

(河北省石家庄市第二中学，050004)

众所周知,每年高考数学题目千变万化,推陈出新,引领着高三复习的大方向.通过对高考试题的深入研究,发现许多高考试题来源于课本中同一个问题或一个课本例题加工而成的结论.本文以教材上的一道练习题为例,对其进行总结提炼,并赏析它在近几年高考解三角形问题中的应用.

人教A版《数学(必修5)》的第18页有如下练习.

习题在∆ABC中，求证：

a=bcosC+ccosB,

b=ccosA+acosC,

c=acosB+bcosA.

这里的每一式都涉及到三角形的三条边(齐一次)及两个角(余弦)，其结构简单，形式对称，统称为射影定理.应用正弦定理，变形可得射影定理的角元形式：

sinA=sinBcosC+sinCcosB,

sinB=sinAcosC+sinCcosA,

sinC=sinBcosA+sinAcosB.

如此，对于解三角形问题，就有正弦定理、余弦定理和射影定理可以使用，使解题过程可以多角度、多方向展开解题思路.本文以几道高考试题为载体，赏析射影定理的命题背景，梳理命题方向.

题型1证明余弦定理

例1(2011年陕西高考题)叙述并证明余弦定理.

解余弦定理：设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，则有

a2=b2+c2-2bccosA,

b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

证明由射影定理c=bcosA+acosB，可得c-bcosA=acosB.又bsinA=asinB,两式平方相加可得，c2-2bccosA+b2cos2A+b2sin2A=a2cos2B+a2sin2B,整理得c2-2bccosA+b2=a2,即a2=b2+c2-2bccosA.

其余两式同理可证.

评注本题证法较多，射影定理的运用可拓展我们的解题思路.

题型2求三角形的内角

例2(2017年全国高考题)设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若2bcosB=acosC+ccosA，则∠B=______.

变式(2013年陕西高考题)设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,则∆ABC的形状为( )

(A)锐角三角形 (B)直角三角形

(C)钝角三角形 (D)不能确定

评注例2及其变式从射影定理入手，简化了问题三角式化简变形过程，使计算量大大减少.

例3(2019年全国高考题)在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

解析(1)由条件及正弦定理，可得(b-c)2=a2-bc,即b2+c2-a2=bc.于是，

题型3求三角形内角之间的关系

例4(2016年四川高考题改编)设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

sinAsinB=sinC;

(2)若b+c=2acosB,求证：A=2B.

解(1)由题意，c(bcosA+acosB)=absinC,由射影定理可得c2=absinC.由正弦定理，可得sin2C=sinAsinBsinC,故

sinAsinB=sinC.

(2)由acosB的特定结构，想到射影定理c=acosB+bcosA,由条件可得b+acosB+bcosA=2acosB,即b+bcosA=acosB,再由正弦定理，得sinB+sinBcosA=sinAcosB,即sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B).所以，B=A-B或B=π-(A-B)(舍)，整理得A=2B.

题型4求三角形的边长

题型5求三角形边之间的关系

例6(2017年山东高考题)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( )

(A)a=2b(B)b=2a

(C)A=2B(D)B=2A

分析题设条件含有射影定理的角元形式，可利用射影定理解决.

解由条件及正弦定理，可得

b(1+2cosC)=2acosC+ccosA.

由射影定理，知acosC+ccosA=b,于是b(1+2cosC)=b+acosC,2bcosC=acosC,注意到∆ABC为锐角三角形，故cosC≠0.因此a=2b.选A.

例7(2016年山东高考题)在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知

(1)证明：a+b=2c;

(2)略.

解由题意，切化弦，可得

即2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB.结合正弦定理，可得2(acosB+bcosA)=a+b.

又由射影定理，知acosB+bcosA=c,所以a+b=2c.

数学问题千变万化,每年都会出现一批面目新颖的试题,我们没有必要把所谓的新题都罗列到位,只要善于从课本上找到这些题目的源泉,就能够游刃有余.高三复习教学既要授人以鱼,更要授人以渔.