用对数均值不等式证明数列不等式

屈惠鹏 韩改琴

(陕西省商洛中学，726000)

在数列不等式中,有一类含有lnn的不等式,它的一般证法是利用导数先证明一个关于lnx的函数不等式,再用赋值法证明关于lnn的不等式．这种证法技巧性强,步骤较多,过程冗长,学生不易掌握．若利用对数均值不等式来证明这类不等式,可以避免从实数向自然数的过渡,直接从自然数开始证明,化繁为简、化难为易,收到事半功倍的效果.

(*)

该不等式的证明参见文[1].本文举例说明这个不等式在证明数列不等式时的应用.

(1)求a的值及f(x)的最大值;

解(1)略.

变式1已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+2.

(1)若f(x)定义域上具有单调性,求实数a范围;

解(1)略.

变式2(2012年天津高考题)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.

(1)求a的值;

(2)若对任意的x∈(0,+∞),有f(x)≤kx2,求实数k的最小值;

解(1)(2) 略.

评注本题需将对数均值不等式与放缩法综合使用,达到证明的目的.

例3已知函数f(x)=tx-t-lnx.

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上增函数,求实数t的范围;

(2)当n≥2且n∈N*,证明：

解(1)略.

评注本题需在不同区间[k,k-1]及[k,1]反复使用对数均值不等式,以达到证明的目的.

(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a取值范围;

解(1)(2) 略.

(1)当x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;

解(1)略.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若n∈N*，且n≥2，证明：

解(1) 略.

由以上例题可见,使用对数均值不等式时,需选择合适的区间,必要时还需与其它不等式或不等式放缩法综合使用,方能达到证明的目的.