常曲率Berwald空间

2022-01-07张纪平沈晓斌石擎天

泉州师范学院学报 2021年6期

张纪平，沈晓斌，石擎天

(1.泉州师范学院数学与计算机科学学院，福建泉州 362000; 2.福建省大数据管理新技术与知识工程重点实验室，福建泉州 362000; 3.智能计算与信息处理福建省高等学校重点实验室，福建泉州 362000)

Antonelli与Matsumoto在文[1]中论述了“Constant-Berwald空间”(下面简称“C-B空间”)的重要性,该空间在物理与生态的发展扮演着重要角色，它不仅应用到物理的“Volterra-Hamilton理论”且最近在生态上有重要新的应用.本文阐明了C-B空间是常曲率Berwald空间并指出射影平坦的Berwald空间是常曲率Berwald空间，重点研究射影平坦的Berwald空间的特征刻划,获得了射影平坦的Finsler空间是Berwald空间的若干个新的充要条件.

引理1“C-B空间”是常曲率Berwald空间.

从文[2]中(1.14)与定理1.8有

引理2射影平坦的Finsler空间是Berwald空间的一个充要条件是

Gij=0.

下面研究射影平坦的Finsler空间是Berwald空间的几个新的充要条件.从文[3]中1.5(a)有

(1)

定理1射影平坦的Finsler空间是Berwald空间的一个充要条件是

(n+1)Hi,j=-(N+1)∂jGi-GiGj.

(2)

证明对于射影平坦的Finsler空间，从[4]有

(3)

与

(4)

其中：p为射影因子.又

这里-j|k表示j与k对调后两式互减，于是

与

Hij=n∂jpi-∂ipj+(n-1)(pipj+ppij)-∂opij.

上式分别与yi及yj缩并，有

Hoj=∂jp-∂opj+(n-1)ppj,

Hio=n∂opi-∂ip+(n-1)ppj.

从式(1)得

Hi=(n+1)(∂ip+ppi).

(5)

Hi.j=(n+1)(∂jpi+pipj+pipj+ppij).

利用引理2及式(5)知式(2)成立.

反之，由式(5)及式(2)有Gij=0,根据引理2知射影平坦的Finsler空间是Berwald空间.

定理2射影平坦的Finsler空间是Berwald空间的一个的充要条件是

(6)

证明显然有

利用式(4)与式(3)知

Pi;j=∂ipj+2pipj+2ppij.

(7)

又Gi=-(n+1)pi关于yi微分,得

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Gij=-(n+1)pij.

(8)

从式(7)、(8)与引理2知式(6)成立.

反之，由式(6)～(8)有Gij=0根据引理2知射影平坦的Finsler空间是Berwald空间.

定理3射影平坦的Finsler空间是Berwald空间的一个的充要条件

(n+1)∂kyi=gikG+2yiGk-ykGi.

(9)

其中：G=Gkyk.

证明从文[5]有

gij;k=-2Cijk;o.