显含阻尼项的二阶非线性中立型Emden-Fowler微分方程的振动性和渐近性

仉志余,宋菲菲,俞元洪

(1.太原工业学院理学系,山西 太原030008;2.中国科学院数学与系统科学研究院,北京100190)

1.引言

来源于数学物理方程的Emden-Fowler型微分方程的研究成果已被广泛应用在天体物理、气体动力学、物理化学以及各高新技术领域之中[1−4].例如带阻尼项的二阶Emden-Fowler方程

其中z(t)=x(t)+g(t)x(τ(t)),r ∈C1([t0,∞),(0,∞)),p,q ∈C([t0,∞),[0,∞)),α>0,β >0为常数,在0≤g(t)≤1,p(t)≥0,q(t)≥0,r′(t)>0等基本假设条件下,获得了多个振动定理,推广了上述有关文献的部分结果.

通过以上分析不难看出,方程(1.1)、(1.3)-(1.10)均为方程(1.2)的特殊类型,而且它们所谓的阻尼项系数(例如(1.6),(1.7)中的r(t)和(1.8)-(1.10)中的p(t))和中立项系数(例如(1.3)-(1.5)、(1.9)、(1.10)中的r(t)和(1.6)-(1.8)中的a(t))的导数都是非负函数.但是,不难发现,这些方程中显含的阻尼项并不代表实际物理意义下的全部阻尼项.因为由文[30] 知,当r(t)>0,r′(t)≥0时,二阶微分方程

因此,对于方程(1.2),本文将总假设以下条件成立：

(H1)r′(t)+g(t)≥0 且0≤p(t)≤p0<∞.

(H2)τ ◦σ=σ ◦τ,τ′(t)≥τ0>0.

(H3) 存在不恒为零的函数q ∈C([t0,∞),[0,∞)),满足f(t,u)/u≥q(t)≥0，u≠0,t ≥t0.

其次,本文将引进指数函数变换,并借助于Riccati变换,积分平均和不等式技巧研究方程(1.2)的振动性和渐近性,建立新的振动准则,顺便导出方程(1.1)新的振动性渐近性判据.

下面,引入指数函数变换

用φ(t)乘以方程(1.2)的两端,则(1.2)变为等价的不显含阻尼项的微分方程

其中R(t)=r(t)φ(t).

我们通过方程(E0),在两种情形∫

下,分别讨论方程(1.2)的振动性和渐近性,为此先给出以下几个引理.

引理1.1设(H3)和(1.13) 式成立.如果x(t)是方程(1.2)的最终正解,则最终有z′(t)>0.

证 因为x(t)是方程(1.2)在[t0,∞) 上的最终正解,则存在t1≥t0,使得当t ≥t1时有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,由(H3)和(E0),我们得到

因此φ(t)r(t)|z′(t)|α−1z′(t) 是非增函数且z′(t)最终保号,于是z′(t) 仅有两种可能.我们断言z′(t)>0,t>t1.否则,假设z′(t)≤0,t>t1.由(1.15)式知,存在常数K >0 使得

从t1到t积分上式,我们得到

在上式中令t →∞,由条件(1.13)得z(t)→−∞.此式与(1.15)式矛盾,故结论成立.证毕.

引理1.2设A>0,B ≥0,λ>0且均为常数,则当u>0 时,有

引理1.3设X >0,Y >0,λ>0为任意实数,则有

当且仅当X=Y,λ ≥1时第一式等号成立.

2.主要结果

为建立方程(1.2)振动性渐近性准则,引入以下记号：

其中R(t)=φ(t)r(t),φ(t)由(1.12)式定义.

定理2.1设(H1)-(H3)和条件(1.13)式成立.如果存在函数ρ ∈C1([t0,∞),(0,∞))和t2≥t1≥t0,使得当t ≥t2时σ(t)≥t1,并对任意常数m ∈(0,1] (当α=β时,m=1),恒有

成立,其中Cβ,Q(t)和ψ(t,t1)分别由(1.17)和(2.1)式定义,则方程(1.2)振动.

证假设x(t)是方程(1.2)的非振动解.不失一般性,设x(t)为[t0,∞)上的最终正解(x(t)<0的情况类似可证),则存在t2≥t1≥t0,使得t ≥t1时,有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(σ(t))>0,当t ≥t2时,有σ(t2)≥t1.于是,由方程(1.2)的等价方程(E0)得不等式

(R(t)(z′(t))α)′+Q(t)f(xβ(σ(t)))=0,

可得

以及

结合(2.3)和(2.4)式,并注意到σ ◦τ=τ ◦σ,z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))以及引理1.3,得

根据引理1.1知,不妨设z′(t)>0,t ≥t1.于是,对于α,β的取值,分两种情形讨论如下：

情形1α ≤β,这时,λ=α.作Riccati变换

则w(t)>0,t ≥t1.对(2.6)式求导并注意到τ′(t)≥τ0>0,得

结合(2.8)和(2.10)式,并注意到(2.5)式及z′(t)>0,得

注意到这时λ=α,γ=1,mα ∈(0,1].所以,上式与(2.2)式矛盾.

情形2α>β

作形如(2.6)式的Riccati变换,则(2.7)式仍成立.由于R(t)(z′(t))α >0单调减,所以,当t ≥t1时,有R(t)(z′(t))α ≤m1=max{R(t1)(z′(t1))α,1}.则m1≥1,又有

将上式代入(2.7)式并利用引理1.2的(1.16)式,得

在文[7]中,LI和Rogovchenko对于方程(1.3)限定β >α=1时,就τ(t),σ(t)与t大小比较的多种情形,获得了多个振动定理3.1-3.8.例如其定理3.3,因为这时(H3)自然满足,所以,可以改述为

定理2.2(LI-Rogovchenko定理) 设(H1),(H2),σ(t)≤τ(t)≤t.若有

均成立,则方程(1.3)振动.

特别在本文定理2.1中取函数ρ(t)为非零常数,则立即可得类似的L-R型振动定理如下.

推论2.1(LI-Rogovchenko型振动定理) 设(H1)-(H3)和条件(1.13)式成立.如果存在t2≥t1≥t0,使得当t>t2时有σ(t)≥t1和

其中H(t,t1),Q(t)如(2.1)式定义,则方程(1.2)振动.

注2.1易知,本文推论2.1又是著名Leighton振动定理[33](即当=∞时,方程(r(t)x′(t))′+q(t)x(t)=0 振动)的自然推广,但是文[7]的诸定理不能还原到Leighton振动定理,因为其中的β >1.

注2.2显然即使当方程(1.2)退化成不显含阻尼项的方程(1.5)或(1.3)时,本文推论2.1也是新的,本文定理2.1也统一了文[2](其中α=β)定理4和定理5的形式.同时本文定理2.1已完全包含和改进了文[27]的定理1,因为从其证明中可以看出,定理1中的η >0,η1=a(t1)(z′(t1))λ >0均应该是任意正常数方可,而本文定理2.1中对应的任意常数为m ∈(0,1] (特别,当α=β时,m=1) 更严谨更精确.此外,对于如下例2.1,本文所列文献及其引文均无效,可见本文定理2.1及其推论2.1 的效果.

例2.1考虑方程

和

均成立,其中φ(t) 由(1.12)式定义,H(t,t1),Q(t)如(2.1)式定义,则方程(1.2)的每一个解x(t)振动或.

例2.2讨论方程

所以,(2.21)式也成立.故由推论2.2知,方程(2.22)的每个解x(t)振动或.

例2.3讨论方程