泰勒定理在高考数学试题中的命题分析

四川师范大学数学科学学院 (610068) 纪定春 曾小华 杨登炼

英国著名数学家泰勒于1712年得到泰勒微分中值定理，半个世纪后通过拉格朗日的研究而被大家所知晓．约一个世纪后，柯西给出了其收敛性的严格证明，随后便在复变函数的发展中得到了推广和应用．泰勒定理是高等数学微分中值定理的重要理论之一，在高等数学中具有广泛的应用价值，也是高考数学创新型试题的命题点．近年来，以泰勒定理为切入点命制的高考数学创新型试题较多，这些试题可以通过初等数学的方法来解决，但是有一定的难度和挑战性，该类型试题多出现在高考数学压轴题中，这种试题不仅具有基础性、综合性、新颖性和创新性等特点，而且在一定程度上，可以考查考生是否具有进一步学习高等数学的潜质．接下来，对泰勒定理作简单介绍，并对泰勒定理在高考数学中的命题进行分析和评注，希望对大家有所帮助．

1.泰勒定理简介

当x0=0时，泰勒展开式又称为麦克劳林展开式，这可以将(基本)初等函数用多项式函数的形式表示出来，最为直接的应用，就是可以借助展开的函数来估值，这对估计无法直接计算或难以直接计算的函数值具有重要的价值和意义．

2.泰勒定理在高考数学试题中的命题分析

例1 (2014年新课标2理科第21题)设函数f(x)=ex-e-x-2x．(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；

图1

例3 (2017全国理科卷Ⅱ第21题)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．

(Ⅰ)求a；(Ⅱ)略．

解析:显然函数f(x)定义域为x∈(0,+∞)．因为f(x)≥0，所以ax2-ax-xlnx≥0．又因为x∈(0,+∞)且x(ax-a-lnx)≥0，所以只需证明ax-a-lnx≥0．考虑分离参数，然后进行分类讨论．

图2

例4 (2017年全国卷Ⅲ第21题)已知函数f(x)=x-1-alnx．

(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值；(Ⅱ)略．

分析:对问题(Ⅰ)，要使f(x)≥0，等价于x-1-alnx≥0．考虑分离参数a，显然需要分类讨论．

评注：可见，2017年全国卷Ⅱ和卷Ⅲ是“姊妹”题，命题的方式都是相同的，只是参数的位置不相同，但参数值相同．因此，可以类比例3的分析和解答过程．

例5 (2018全国文科卷Ⅰ第21题)已知函数f(x)=aex-lnx-1．

图3

评注:可见，问题(Ⅱ)蕴含高等数学内涵：泰勒定理．从泰勒定理衍生出两个重要的不等式“ex≥1+x”和“lnt≤t-1”．通过一次函数，沟通两个不等式之间的关系．站在高等数学的视角(或反函数视角)，可以看出直线y=x是函数y=ex-1和y=lnx+1的对称轴，这条直线将两个“凹凸性”相反的函数分隔开．其实，函数的凹凸性是高考数学命题的重要切入点，这一点是值得研究的．

(Ⅰ)略；(Ⅱ)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0．

解析:对问题(Ⅱ)，当a=1时，欲证f(x)+e≥0，需证ex+1≥1-x-x2．通过图4，可以发现，函数y=1-x-x2的图像始终在y=ex+1的下方．当x=-1时，两个函数值相等，即表明当a=1时，两函数有唯一交点．由泰勒定理，可知ex+1≥1+(1+x)=2+x，所以ex+1-(1-x-ax2)≥ax2+2x+1，要使ax2+2x+1≥0成立，则需要a>0且Δ≤0，可得a≥1．

图4

评注:问题(Ⅱ)是不等式成立问题，主要考查导数的综合应用．巧用泰勒定理，将指数函数放缩成一次函数，再利用判别式法，得出参数的范围，最终证明不等式成立．

3.教学启示

注重数形结合、逻辑思维和直觉思维并重．我国著名数学家华罗庚先生曾讲：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，华罗庚先生对数形结合思想有很高的评价，应值得我们仔细思考．纯粹的代数运算，对培养学生的抽象思维和逻辑运算是有益的．直觉思维的发展，需要借助几何图形的直观性，而直觉思维是创新的一种重要思维方式，因此，发展直觉思维对创新意识的培养是有意义的．现代心理学和脑科学研究表明，人脑对图片的加工能力远超过对字母的加工能力，一般来讲，右脑负责图片加工，左脑负责语义加工，两者协调，共同完成对事物的认知图式．因此，在教学活动中，应结合图形(几何)直观性来加深对代数(抽象符号)的理解，即数形结合．

抓住问题本质，注重“变式”教学．本质是构成问题的核心要素．“变式”教学“变”的是问题的非本质属性，抓住并概括出问题的本质属性，是数学教学培养学生数学思维的重要途径．通过上述的分析，不难发现“ex≥1+x”和“x-1≥lnx”，就是最本质的结构，但对其进行变式，将会衍生出不同的结构．米勒的组块理论指出，一个正常人能够同时加工的信息量是“7±2”，即工作记忆的容量大致为5至9个信息，问题的非本质属性占据的内容越多，就不容易形成对事物本质的认识，也不利于工作记忆(短时记忆)中的信息编码进入长时记忆．而变式教学，变化的是问题的非本质因素，对突出问题本质是有价值的，有利于学生对数学核心要素的加工和编码，进而促进对问题本质的认识．因此，在教学活动中，应抓住问题本质，注重变式教学．