从学会解题到学会命题——一个征解问题的探究与变式

上海市行知中学 (201999) 范广哲

武汉职业技术学院商学院 (430074) 邹 峰

一、题目呈现

题目(《数学通讯》(上半月)2019年第10期问题423)已知实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=36，求p=xy+xz+yz+x+20y+51z的最大值.

二、命题揭秘

本征解问题由笔者之一邹峰老师提供.命题意图是想考查学生灵活运用熟知的二元均值不等式的能力.为增加解题思维量，提高探索难度，出题时设计为三元形式，为使问题简捷美观，条件和所求都是三元二次型，条件和所求式中的项不重复.设置当x=1,y=2,z=3时取最值，即可写出条件x2+2y2+3z2=36，随后由均值不等式及其取等号条件设计出所求p=xy+xz+yz+x+20y+51z，稍加整理即形成文首征解问题和下面的解法.

三、变式研究

找到解决问题的“钥匙”，也就找到命题者命题的方法和技巧，从而同学们也可以实现从学会解题到学会出题的数学素养的提升.

1、增加字母个数，可以命制更多元的最值问题.

提示:当a1=2,a2=1,a3=4,a4=3时，取得最大值为265.

2、更换字母系数，可以命制不同的最值问题.

3、引入参数系数，可以命制含参最值问题.

提示:所求最大值为30k+235，当且仅当a1=4,a=1,a3=3,a4=2时取得.

4、引入参数并改换字母系数，可以命制更有思维价值的最值问题.

最后给出一个n元推广：

四、问题拓展

题1 已知a,b,c∈R，且a+2b+3c=10，求p=a2+b2+c2+ab+ac+bc的最小值.

题2 已知a,b,c,d∈R，且a+2b+3c+4d=10，求p=a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值.

下面给出两问题的推广证明：