那些年，我们一起追过的分离参数——谈谈不等式恒成立问题何时不分离参数

厦门大学附属实验中学 (363123) 田富德

含参不等式恒成立问题，能很好的考查学生转化与化归、分类讨论想等思想方法，能很好的考查逻辑思维能力、运算求解能力.因此，该问题一直是各省市质检、高考的热点，杂志也掀起研究含参不等式恒成立的热潮，不少文章对不等式恒成立问题的解法进行归纳，对分离参数的方法进行探讨.显然，分离参数法是解决含参不等式恒成立的主要方法、重要方法、常用方法，这类问题几乎都可以用分离参数法来解决，但也并不是所有的试题都适合用分离参数来解决，也并不是所有的试题都可以用分离参数来解决.

笔者本着以溯本求源为出发点，结合课堂教学实际，有以下两点思考与大家共勉.含参不等式恒成立问题为什么要分离参数？含参不等式恒成立问题什么时候不分离参数？

一、为什么要分离参数

不等式恒成立问题的本质是求函数的最值问题，求函数最值需要研究函数的单调性.而参数可能对函数的单调性会产生影响，故求含参函数的最值常常要对参数的讨论.分类讨论恰是学生学习的薄弱点，而分离参数之后再构造函数，可以有效避免参数对函数单调性的影响.因此，分离参数法成为了含参不等式恒成立的常用解法，甚至是首选解法.

综上所述，m的取值范围为m<1.

综上所述，m的取值范围为m<1.

二、什么时候不分离参数

纵然分离参数万般好，可是仍有许多含参不等式恒成立的试题不宜使用分离参数法.

1.参数无法分离或分离后函数复杂

2.一次函数(含常函数)

例4 对于任意的m∈[-2,2]，不等式4x2-8mx+7m-34>0恒成立，求x的取值范围.

点评：注意到不等式是对任意的m∈[-2,2]恒成立，故应将m视为变量，构造函数g(m).而g(m)或是一次函数或是常函数，其在区间[-2,2]的图象为一条线段，要使原不等式恒成立，即让该线段在m轴(横轴)上方，故只需保证线段的两个端点落在横轴上方，便解之.

有不少老师将这种方法称为变换主元法，笔者则认为本例主元本身就是m，不等式是对于m的取值恒成立，显然m才是变量，而x则为参数.原不等式可化为4x2-34>(8x-7)m，若要对不等式分离参数，即要对上不等式两边同除以8x-7，显然需要讨论8x-7其值正、负、零的三种情况.分离参数其目的是为了减少讨论(或是避免讨论)，而本例若要分离则增加了讨论，故不适合分离.

3.部分二次不等式

例5 关于x的不等式x2-2mx+1>0恒成立，求m的取值范围.

解析：依题意得，Δ=(2m)2-4×1×1<0，解得-1

点评：要使得原不等式恒成立，等价于函数y=x2-2mx+1的图象恒在x轴上方，即对应二次方程判别式小于零.二次含参不等式在R上的恒成立问题，首选判别式法，不宜采用分离参数法.

例6 对于任意的x∈[-2,2]，不等式x2-2mx+m-5<0恒成立，求m的取值范围.

例7 对于任意的x∈[-2,2]，不等式-x2-2mx+m+5>0恒成立，求m的取值范围.

点评：不等式恒成立问题的本质是求解函数的最值.给定封闭区间，对于开口向上的抛物线其最大值显然出现在区间的端点处，如例6；对于开口向下的抛物线的最小值显然出现在区间的端点处，如例7.虽然最值的位置不确定，但对于恒成立问题，只需保证可能成为最值的函数值能成立即可.

对于例5、例6和例7，倘若对原不等式进行分离参数，避免不了对自变量x的讨论，分离显得多此一举、化简为繁.

4.分离后没有最值或对含参函数单调性了然于胸

例8 当x≥0时，关于x的不等式ex-1-x-ax2≥0恒成立，求a的取值范围.

解法1：设f(x)=ex-1-x-ax2(x≥0)，则f′(x)=ex-1-2ax，f″(x)=ex-2a.

解法2：当x=0时，原不等式成立.

点评：解法2使用了分离参数法，过程中也用到了洛必达法则，一方面，中学数学教材并没有给出洛必达法则，另一方面，考生若在高考使用洛必达法则，也可能无法得满分.因此，考生在最好不要使用解法2进行作答，命题老师更不能将解法2作为试题的参考解答.故对于本例，显然适合选择解法1，直接构造函数求导讨论其单调性.对于解法1，如何确定参数的临界点是解题的一个难点.那么什么时候选择直接构造函数，又什么时候分离参数后再构造函数呢？虽然我们无法短时间快速判断分离后的函数有没有最值，但遇到定义域为开区间的函数就要小心了.在考场上考生没有太多时间对各种方法进行尝试，一般情况下，作为全卷的压轴题，分离参数极可能不可行，可能所构造函数没有最值，也可能所构造函数较为繁杂.如果考生能对参数临界点了然于胸，那么直接构造函数比较合适.

每年的高考试题、各地质检试题，新型层出不穷.考生想要在考试中快速选择适合的方法，轻松解决各类恒成立问题，只是“纸上谈兵，死记方法”，显然是不行的，考生需要通过做一定量的题，多总结思考才能找到题感，以不变应万变，迅速判断是否适合分离参数来解题.作为教师，更应该多解题命题，注重一题多解和多题一解，对各类题型进行归纳总结、拓展延伸，才能站在解题的至高点上更好的引领学生.