含受控源电路负载最大功率求解易错情况探讨

代广珍，韩 超，王冠凌

（安徽工程大学 电气工程学院，安徽 芜湖 241000）

电路分析中负载何时才能获得最大功率［1］，以及负载获得的最大功率是多少，即最大传输功率问题［2］，在实际电路中应用广泛，如电子电路设计、测量及通讯电路等［3］.因此，在电路理论教学中，合理地分解知识点并加以详细地讲解，有利于学生正确理解并运用来解决电路问题［4］.此外，电路分析中定理、定律较多，各自都有不同的应用前提且相互之间又有一定的联系［5-6］；分析方法较多，尤其是用理论性较强的数学工具来解答实际电路问题过程中的理想化假设与理论抽象，很容易让初学者产生困惑，不知道运用哪种分析方法［7］.其实，对于电路分析课程教学中所涉及到的电路问题，一般根据电路结构及组成元件的特点都有一种常用的分析方法最为简单，这也是前人分析总结得出的经验［8］.学习者在学习过程中，只需要掌握已有的理论知识，并结合个人的理论基础和能力加以扩展，从而避免可能出现的错误，强化对所学知识的掌握.

笔者以一道含受控源电路负载为何值时获得最大功率的习题中所出现的情况为例，阐述可能出现的解题误区，以帮助正确理解和避免错误.

1 问题描述及求解方法

电路分析课程中关于基本概念理解的重要性，在解题过程中可以窥见一斑.图1 所示为一含有受控电流源电路，要求计算负载RL为何值时能够获得最大功率.

在求解该题时，通常的做法是采用戴维宁定理等效的方法.将图1 中电路等效变换为图2 所示电路，图2（a）中端口1-1’左侧的有源电路等效成为了一个电压为该电路开路电压UOC和等效电阻REQ串联的电源模型，如图2（b）所示.然后，再将负载RL接入该电源模型进行计算，如图2（c）所示.接下来的工作是先计算出UOC和REQ，其中，UOC和REQ分别为图2（a）中端口1-1’之间的开路电压和输入等效电阻.将RL接入该电源模型后，并令RL=REQ时，负载RL上获得最大功率.运用最大功率计算公式Pmax=U2OC/（4R2L）求解即可得到负载RL上的最大功率.

图1 求负载何时获得最大功率电路

图2 戴维宁等效变换电路

2 求解过程分析及易错点描述

上述求解方法看似简单，但是在实际教学中发现学生在解题过程中出现了不同的求解方式，而由于受控源的存在，导致求解过程中出现了各种各样的错误.下面对该问题的求解按求开路电压和等效电阻分步进行讨论.

2.1 求解开路电压

求解开路电压时出现了两种处理方式：

（1） 将受控电流源和并联的3 Ω 电阻等效变换成受控电压源与3 Ω 电阻串联；

（2） 采用结点电压法就出结点n 的电压，然后再求解端口开路电压UOC.

采用等效变换的方法得到的电路如图3（a），对于电路中的回路可列出KVL 方程：（3+3）i=1.5i+18，并求解得：i=4 A.由于电阻2 Ω 无电流流过，因此其端压降为零，所以开路电压UOC=18-3i=6 V.如果在计算过程中将变换后的电压源的极性搞错，则列出的KVL 方程为：（3+3）i=-1.5i+18.于是，求解得到的电流为：i=2.4 A，开路电压为：UOC=18-3i=10.8 V.显然，因为后者对电源的两种模型等效变换概念模糊，造成计算结果错误.

采用结点电压法求解［7］时，如图3（b）电路中只有两个节点，因此考虑运用结点电压法的特例——弥尔曼公式求解.弥尔曼公式的表达形式为：式中表示的是灌入结点n 的电流之和，当电压源正极靠近结点n 或电流源电流方向指向结点n 时，支路x 的电流Ix为正，否则为负表示与结点n 相连的电导之和，如支路y 中电导Gy与电流源串联，则Gy=0，即不包含与电流源串联的电导.根据弥尔曼公式列出结点n 的电压方程式：并根据弥尔曼公式灌入电流的求解方法计算的电流i=18/3=6 A，带入结点n 的电压方程，计算得到Un=4.5 V.同样，由于电阻2 Ω 无电流流过端压降为零，开路电压UOC=Un=4.5 V.

采用结点电压法求解，计算过程并无明显错误，为什么和上一种方法计算结果不一致呢？不防运用电路的基本定律KVL、KCL 来进行验证计算.对于图3（b）中的结点n，根据KCL 电流定律，假定由18 V 电压源流入的电流为i，已知受控电流源流出的电流为0.5i，则经与之并联 3 Ω 电阻上流出的电流也为0.5i，于 是 利 用KVL 可 得 到18-3i=0.5i×3，计算得到电流i=4 A，进一步计算得到开路电压为：UOC=6 V.显然，上面计算错误的原因是把电压源的灌入电流作为受控源的控制量造成的结果.受控源的控制量应该是其所在支路的实际流过的电流，即i=4 A.因此，考虑到端口电阻2 Ω 无电流流过端压降为零，端口开路电压实际应为结点n 的电压，即

图3 含受控源电路开路电压计算

2.2 求解等效电阻

电路分析课程中，对于电阻网络中端口输入等效电阻的求解方法可以归结为3 种：

（1）仅由纯电阻构成的端口网络，采用电阻的串、并联和混联的方法求解；

（2）仅含有电阻和独立源的端口网络，采用将独立源置零后再采用（1）的求解方式；

（3）除了含有电阻和独立源外，还含有受控源的端口网络，先采用（2）的方式将独立源置零，然后对于仅含有电阻和受控源的端口网络求解等效电阻.

通常对于仅含有电阻和受控源的端口网络，采用外加电压源U0求端口电流I0或外加电流源I0求端口电压U0，然后利用REQ=U0/I0求解得到等效电阻的值.对于采用等效变换和未采用等效变换方法得到的求等效电阻的电路分别如图4（a）、（b）所示.显然两个电路中均含有受控源，然而对于图4 中（a）、（b）两个电路，都无法直接利用端口电流I0（或电压U0）表示出端口电压U0（或电流I0），必须利用控制量i 作为中间变量来分别表示出端口电流I0和电压U0，最后带入等效电阻计算表达式计算，消去i 后得到REQ电阻值.由于中间变量的引入，为计算带来了复杂度，不仅是在绘制求解等效电阻电路时容易出错，在列写方程时由于不能直接表示出端口电流与电压的关系也容易出错.为了避免第一个错误的出现，将控制量参考方向和受控源极性之间的关系保持不变.

对于图4（a），假定端口上加电流源电流为I0，求端口电压U0.由KCL 电流定律可得受控电压源所在支路上的电流为I0+i，参考方向定为由上向下.于是，对于左边的回路，可列出KVL 方程3i+3（I0+i）=1.5i，求解得I0=-1.5i.再对端口列回路方程，有两个回路方程：

（1） 单独的3 Ω 支路与U0组成的回路方程：-3i+2×（-1.5i）=U0；

（2） 受控源支路与组成的回路方程：-3（-1.5i+i）-1.5i+2×（-1.5i）=U0，分别求得的端口电压皆为：U0=-6i，带入REQ=U0/I0得到等效电阻为4 Ω.

对于图4（b），同样假定端口上加电流源电流为I0，求端口电压U0.由于原独立电压源所在支路电流保持原有假设i，因此独立3 Ω 电阻支路的电流也为i，且也为流入结点n，故对结点n 列KCL 方程得i+I0+i=0.5i，求得I0=1.5i.对独立3 Ω 电阻支路和U0构成的回路列KVL 方程得-3i+2I0=U0，带入I0求借得U0=-6i.将求得i 表示I0和U0带入等效电阻求解表达式，同样可求得等效电阻REQ=4 Ω.

最后，将以上各步骤求解得到的开路电压UOC=6 V 和输入等效电阻REQ=4 Ω 带入最大功率计算公式Pmax=U2OC/（4R2L），求解得到负载RL上的最大功率为Pmax≈ 0.56 W.

3 总结

电路分析作为电类及相近专业必修的基础课程，定理、定律及分析方法繁多［1］，很容易产生错误.基于含有受控源网络中的负载获得最大功率的课后习题，对求解时涉及到的戴维宁定理、电路等效变换、含受控源电路等效电阻等知识运用过程中的易错情况［5］进行总结，（1）对于含有受控源电路的等效变换应既要注意保留控制量所载支路，又要在等效变换过程中正确标明变换后受控源的参考极性；（2）对于含有受控源电路运用结点电压法时，要注意受控源所在支路的电流或电压应为该支路实际流过的电流或两端的电压.通过明确指出学习过程中的易错情况使学生能够正确理解、掌握并运用相关知识点对电路问题进行分析解答，有利于电路理论教学过程中知识点的合理划分与详细讲解，从而提高了教学效果.