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开放、探索问题

2020-07-16

新世纪智能(数学备考) 2020年5期
关键词:棱锥边长抛物线

一、填空题

1.(2019年盐城部分学校联考)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________________.

3.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,.正三角形ADB以AB为轴运动.当CD=_______时,CD⊥平面ABC.

(第3题)

4.(2020年连云港市模拟卷)在△ABC中,已知则cosC的最小值是________.

5.若用长度分别为1,1,1,1,x,x的六根笔直的铁棒,通过焊接其端点(不计损耗)可以得到两种不同形状的三棱锥形的铁架,则实数x的取值范围是________.

6.对于数列{an},定义数列{Δan}满足:Δan=an+1-an(n∈N*),定义数列{Δ2an}满足:Δ2an=Δan+1-Δan(n∈N*),若数列{Δ2an}中各项均为1,且a21=a2010=0,则a1=________.

7.设无穷数列{an}具有以下性质:①a1=1;②当n∈N*时,an≤an+1.请给出一个具有这种性质的无穷数列{an},使得不等式对于任意的n∈N*都成立:_______.

9.在△ABC中,AC=6,BC=7,cosA=,0是△ABC的内心,若,其中0≤x≤1,0≤y≤1,动点P的轨迹所覆盖的面积为________.

10.(2020年常州市模拟卷)设数列{an}的前n项和为Sn,且,若对于任意的n∈N*都有1≤x(Sn-4n)≤3恒成立,则实数x的取值范围是________.

二、解答题

11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点到其焦点F的距离比到y轴的距离大1.

(1)求抛物线C的方程;

(2)若过点F的直线交抛物线于M,N两点,M在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线MN的方程;

(3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积为后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为,求该正四棱锥的侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为,求其所有侧面面积之和的最小值”.

12.(2020年西安市模拟卷)在平面直角坐标系x0y中,已知椭圆T的方程为y2=1.设A,B,M是椭圆T上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使.

试探究下列各个量是否为定值;若是,请求出定值,否则,请说明理由:

(1)直线0A与0B的斜率之积;

(2)0A2+0B2.

13.设{an}是各项均为正整数的无穷数列.记a1,a2,…,ak(k∈N*)中的最大项为Mk,ak+1,ak+2,…中的最小项为mk.

(1)若mk-Mk=1,问:{an}是否为等差数列?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;

(2)若{an}是等比数列,且公比q≠1,求mk-Mk的最小值.

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