对解析几何问题常用思想方法的小结

王渊

[摘  要] 解析几何的相关知识是联通代数和几何的桥梁，为解决许多重要数学问题提供了新颖的视角和解决方案，解析几何类问题往往能够综合考查学生的理解、转化、联想、归纳等重要数学能力，反映学生的核心数学素养，因此在各类模拟考试以及高考中占据了很大的分值. 解析几何问题是一类对于学生来说较有难度且容易失分的题. 文章以一道具体的抛物线问题为例，对该类问题的常用解决方法做一个简单的小结.

[关键词] 解析几何;最值与范围问题;抛物线;函数思想

解析几何的相关知识是联通代数和几何的桥梁，是高中数学知识模块中不可或缺的重要部分，它从代数的视角解析几何关系，也用几何的形式反映了代数关系，为解决许多重要数学问题提供了新颖的视角和解决方案. 解析几何类问题往往能够综合考查学生的理解、转化、联想、归纳等重要数学能力，反映学生的核心数学素养，因此在各类模拟考试以及高考中占据了很大的分值.解析几何问题由于知识综合性强、方法灵活度高以及计算量大，是一类对于学生来说较有难度且容易失分的题，学生在平时练习中暴露出来的问题（除了计算错误）主要是难以找到合适的切入点. 对此笔者认为，通过做大量习题来熟悉思路的方法固然可行，但绝不是最高效的选择，因为这会浪费大量熟悉情境的时间，也不利于学生透过现象抓住方法的本质. 笔者采用的是一题N解法教学，通过对经典例题进行深度挖掘，帮助学生打开思路，理解问题和方法的本质. 本文中笔者将会以一道具体的抛物线问题为例，对该类问题的常用解决方法做一个简单的小结.

问题提出

如图1所示，已知P（x，y）（x<0），若存在抛物线C：y2=4x上两点A，B满足线段PA，PB交抛物线于各自的中点. （1）设点M等分线段AB，试证明PM⊥y轴;（2）若点P的运动轨迹是一个半椭圆x2+=1（x<0），试求S△PAB的可能取值范围.

问题分析：本题的第一问是关于垂直关系的证明，因有一直线为y轴，故可以间接地通过证明PM与横轴平行来转化问题. 第二问是高考中关于解析几何的热点题型——最值与范围问题，这类题型的主要考查点是运算推理能力，基本的思路是根据题目直接提供或者隐含的代数几何条件构造出对应的函数或不等式，以此约束所研究表达式的范围.一般来说该类问题的难点体现在变量复杂繁多，例如在几何问题中涉及的变量会有点的横纵坐标、直线的相关參数等，如何合理简化和利用参数关系是解决最值与范围问题的关键所在.

解法一览

对于第一小问.

方法短评：本方法综合运用了构造、消元、转化的函数思想方法，先建立了关于目标量的多元函数关系式，再通过抛物线表达式和联立式进行消元，将多元表达式转化为单一变量函数，最后结合自变量范围给出了面积的取值范围，这种基于函数思想的方法是解决解析几何最值与范围问题的常用手段.

方法2：将y-2yy+8x-y=0与y-2yy+8x-y=0相加可得y+y-2y0（y1+y2）+16x0-2y=0，即（y1+y2）2-2y1y2-2y0（y1+y2）=2y-16x0. 代入y1+y2=2y0可得y1y2=8x0-y，接下来的做法同第一种方法.

问题改编

对本题的第一小问进行改编，还可以得到新的结论，教师可以在讲解完第一小问的方法后将本题作为练习检验学生的掌握情况，并帮助他们及时巩固相关的思想方法.

所以可得切线的解析式为2x-y1y+=0，同理可得lBG：2x-y2y+=0，联立两个切线方程可得yG==yM，所以GM∥x轴，即GM⊥y轴，即证.