基于具体形式下的现代数学观念的数学解题

蒋玲

[摘  要] 数学学习的研究离不开对数学观念的思考，数学学习也必然是在一定的数学观念（又称数学素养）下的学习.在我国，考试是学生学习成果的重要检测方式，因此“会解题”就变得格外重要，数学观念与解题之间的关联便成为重要的研究方向.

[关键词] 数学观念;数学素养;解题;数学思维

关于解题，波利亚与舍费尔德有着瞩目的研究，但是由于他们著作中的案例都与当今数学课程内容相去甚远，虽然在学术界影响颇大，但是对于一线的教师，特别是我国的一线教师，还不能够很好地应用其理论，因此，我们应当结合当代数学课程、结合当代数学的教学特点、结合当代学生的特点，将这些卓越的数学教育思想与中国数学课程内容关联起来，形成现代化的数学教学思想.

我国现代教育中的数学观念

数学观念是一个开放的、不断发展的观念，是人类社会活动的产物，因此，在“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念下，教育部引领一批优秀的现代数学家、数学教育家充分借鉴国际课程改革的优秀成果，提炼出适合我国学生应当重点发展的符合现代化人才培养需要的数学观念.

《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》第一次明确提出了“数学素养”，指出：“数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养”，在对教学活动的认识中强调：“通过有效的教学活动，引导学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.”使学生在数学知识的学习、思维的训练、技能的提升的过程中逐步形成良好的数学观念，同时通过已经形成的或正在形成的数学观念反过来对数学的学习进行调整、定向，直至向更高层次推进;也即在数学学习的过程中，数学观念可以看作数学思维活动的产物，亦可作为思维活动的催化剂.

《普通高中数学课程标准（2017版）》更是聚焦“数学素养”，发展“三会”：会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界. 这些行为表现的本质是数学的抽象、推理、建模、运算、直观想象、数据分析等思维品质和关键能力的体现，是数学素养内化于人的结果. 我国的高中生，普遍处于16-18岁的年龄，正是疯狂接受知识、学习的黄金年龄，因此作为义务教育阶段后普通高级中学主要课程的高中数学课程，其数学教学、数学学习应从以升学考试为目的向培养学生核心素养为目的转变，从零散知识的学习向综合运用知识解决实际问题的学习转变，为学生的可持续发展和终身学习创造条件.

解题的现代含义

解题，是数学教育中一种最基本的活动形式，常常是教师们通过一些例题的讲解，对题目进行归类，总结其共有的解题步骤，形成解题模板，然后进行大量重复的巩固练习，以达到学生熟练解题的目的. 不置可否，这样的训练对于数学知識学习的初期，能够起到一定的作用，对解题能力的提高有一定的作用，但是这样训练出来的解题能力，只能是现代解题能力的初级阶段（会做题）. 然而，会做题就等同于会解题了吗？当然不是！

美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚称：“掌握数学就意味着善于解题.”这里的解题不是说我们能够解出一道中考题或者一道高考题的答案，而是在看到一个数学问题时，能够通过一系列的思维活动和运算过程，最终得出数学问题的答案，因而，解题就是寻找数学题的解的过程，它包含的不仅仅是题目的答案，更多的是在寻求答案的过程中涉及的思维活动以及所用的数学方法. 因此数学解题作为一种有意义的学习过程，既包含着新旧知识的同化和顺应，又有新旧解题策略的同化和顺应，解题就是要在所有新旧知识之间建构起非人为的和实质性联系的过程. 数学家的解题往往是发现与创造的过程，而对于初等教育阶段的学生而言，解题是学生体验数学知识的再发现与再创造的过程.

数学观念在解题中的具体表达形式

数学观念的具体表现形式是怎样的？这里借鉴张乃达先生在《数学思维教育学》中的说法：“整体意识、抽象意识、化归意识、推理意识、数学美的意识可以看作是数学观念的具体表现形式.”

（一）整体意识

所谓整体意识指从全局上考虑问题的习惯. 合理运用整体意识解题，可以使学生在探明思路时优化方法，在拓展思路中力求独创，从而培养学生的思维灵活性、广泛性与深刻性.

例题1 椭圆+=1上有两点P，Q，O是坐标原点，若OP，OQ的斜率之积为-，求证：

分析：充分利用（cosα）2+（sinα）2=1的整体特征将P，Q点的坐标用参数设出P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ），便能够得出定值. 通过此例可以看出，整体观念在解题中的运用离不开联想和构造，这对于培养学生的创造性思维是大有裨益的.

（二）抽象意识

抽象意识是在学习数学的过程中形成的一种思维习惯. 它包括了能有意识地区分复杂事物与现象的主要因素与次要因素、本质现象与表面现象，能抓住本质去解决问题.

于是得到f（x）在x=x0处的导数等于0.在此题的解答过程中，我们不仅要学习应用以前所形成的数学知识，还应当在过程中学习形成这些知识的抽象概括方法，学会如何在复杂的关系运算中扬弃一些非本质的属性，抽象出本质的特征，通过这样的探究分析训练，便可以在学习活动中逐步提高抽象概括的能力.

（三）化归意识

化归意识指解决问题的过程中有意识地对问题进行转化，使之变为已经解决或易于解决的问题;它还意味着用联系、发展、运动变化的眼光来观察问题、认识问题.

例题3 已知实数x1，x2，y1，y2满足：x+y=1，x+y=2，x1x2+y1y2=，则+的最大值为_____.

分析：结合所学相关圆、向量的相关知识，认识到+的几何意义为A（x1，y1），B（x2，y2）两点到直线x+y-1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值.将代数上的最值问题求解转换为几何中的最值问题求解，不仅形象直观，使问题更简单，更准确，而且充分地体现了解题的本质：建立新旧知识的桥梁，使问题中各种概念及概念之间的相互关系具体明确，感受数与形的有效结合.

（四）推理意识

推理意识指推理或讲理的自觉意识，是数学的严密逻辑性的反映.

例题4 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，an=（n∈N+），求证：数列{an}是等比数列.

分析：在这里数列{an}的通项公式未知，因此，想要用定义法证明就需要先求解出其通项公式，而f（x）又是一个抽象函数，其解析式也不易于求解. 这里我们采用欧拉的归纳法解决. 设a≠0，由a，b的任意性，我们观察f（a2），f（a3），f（a4），…，归纳猜想f（an）=nan-1f（a）（n∈N+），下面用数学归纳法证明，

算出，即可利用等比数列的定义证明.在此题的解答过程中，应用到由特殊到一般的思想，具有由具体到抽象的认识功能，擁有理性认识的特点，其步骤可以看作是归纳、演绎法的结合，对于数学理性思维的形成有着重要的作用.

（五）数学美的意识

数学美是较为抽象的科学美，徐利治先生在《数学方法论选讲中》首次提出：数学美的本质是数学关系结构系统与作为审美主体的人的意向的融合. 对于数学美的意识的认识及应用，会结合多方面的数学观念，是一种综合性意识的体现，因此也进一步验证了数学美作为一种高级数学意识的观点.

例题5 已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点，设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x2<2.

分析：对于此题的解答，学生很容易萌发出“正推”和“逆推”两种对等的数学观念，我们从两种观念分别出发，探讨在解题过程中所隐含的数学思维方法. 在“逆推”的过程中，首先思考，要证明：x1+x2<2成立，我们应当如何入手.由结论出发，逐步分析，简化解题的思维过程，将结论中不等式的证明等价于新构造出来的不等式的证明，由“简单”的结论推导出“复杂”的不等式. 再结合分析，回归题目，证出结论. 接着从“正推”的思路来解决这一题目.

带来的启示

在中学课程的学习中，数学一直扮演着重要的角色，而它又以题量繁多且复杂成为众多学生的苦恼，如何教会学生解题必然是每一位教师最关心的问题，这里我们要清楚中学数学培养学生的基本数学思维，即数学观念与意识. 而“数学观念与意识”的培养是一个循序渐进的过程，在此过程中，教师首先应当树立正确的数学观念，并以此来指导教学工作，避免出现教师一切的数学教学活动都围绕“高考指挥棒”转， 大搞“题海战术”将升学率作为数学教学评价的唯一标准，而是应当秉承数学素质教育的基本要求，加强数学观念的教育，以此培养良好的数学观念. 其次对于学生而言，大多数学生在将来未必能够用上较为高深的数学知识，但是数学思想方法却有着普遍的意义，不仅能够应用于数学研究，也可以用于人类实践活动的各个方面，因此作为数学思想方法核心结构的数学观念就尤为重要. 具有良好的数学观念不仅能够帮助我们很好地面对目前的学科学习的检测，而且在未来的科技与经济发展中，也起着举足轻重的作用.