探究概念本质，促进概念生成

糜苏英

[摘  要] 对概念的教学，要挖掘数学概念的本质，让学生理解并领会概念的内涵，促进知识生成. 在观察、动手实践、思考中，促进学生对抛物线概念具有深刻感知与认识，在先得到一个片面结论后，再通过直观对比方法，来获得全面的观点. 教师在课堂上若以概念直接呈现方式，忽视概念的解析与生成，则学生易对概念一知半解，在面对一些数学题型时，导致解题错误. 因此，数学概念的教学，不能只重结果而轻过程.

[关键词] 高中数学;概念;概念本质;概念生成

数学概念是构成数学知识体系的重要部分，数学概念是数学的细胞. 对概念的教学，要挖掘数学概念的本质，让学生理解并领会概念的内涵，促进知识生成. 本文以“抛物线及其标准方程”为例，通过探究抛物线的概念，发展学生的数学抽象与直观想象素养.

概念的导入与生成

在概念教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步应用中逐步理解概念的本质. 在引出抛物线概念之前，我们在课堂上先展示拱桥、望远镜、凹面镜等实物图片，让学生联系上生活，感受到抛物线的实际应用. 然后结合探照灯的结构分析，让学生认识到抛物线的聚焦点是特殊的. 在认识了抛物线的基本特征后，再导出本节课所要学的抛物线概念，通过数学与生活的紧密联系，发展学生的致用意识.

前面我们学过二次函数，以及其图像的特点，对于抛物线，也是二次函数中的一种. 现着重从抛物线定义及标准方程入手，来讨论其函数图像的变化特点. 我们已经学习过椭圆、双曲线的方程，两者都有动点与定点的关系. 对于抛物线，如何定义？在讨论之前，请同学们先分析函数y=x2的图像. 我们可以在直角坐标系中画出该函数的图像，然后设定某定点F（0，1），动点M（x，y），求抛物线上任意一点M到定点F的距离，以及动点M到直线y=-1的距离d，两者有何关系？通过学生动手绘图分析，测量特殊点的距离关系，得到点M到定点F的距离，与点M到直线y=-1的距离，两者是相等的.

这一设计意图，意在让学生从坐标系中分析二次函数的图像与抛物线之间的关系，学生在测量后产生认知冲突. 分析二次函数的图像，引出抛物线的概念，再对比探照灯的圆弧特征，让学生感受到聚焦点是抛物线的特殊点. 根据学生的判定，我们提出问题：针对抛物线上的点，与定点的距离，以及到定直线的距离，两者是相等的. 这一特例的猜测，对于其他情况能否成立？为此，有学生认为，在平面内，到定点F与定直线的距离相等的点的轨迹，就是抛物线. 对于这个说法正确吗？我们可以从抛物线上的任意一点，来分析其是否满足上述条件. 比如可以通过几何画板，来验证该学生的观点. 事实上，通过对定点F、定直线不同情况的分析，我们可以得出抛物线的定义：在平面内，到定点F与定直线（不经过定点F）的距离相等的点的轨迹就是抛物线. 在观察、动手实践、思考中，促进学生对抛物线概念具有深刻感知与认识，在先得到一个片面结论后，再通过直观对比方法，来获得全面的观点. 通过这个过程，学生对抛物线概念的理解会更加准确.

对标准方程的探究

概念教学中必须认识到，数学概念是数学思维的起点，是建立数学理论的基础. 在探究抛物线的标准方程之前，我们来思考，求曲线方程的一般方法和步骤. 解析几何，通常需要运用代数方法，来解决几何问题. 在曲线方程归纳过程中，一般需要建系设点、提炼等量关系、代入化简等步骤. 根据前面所学习的抛物线概念，我们可以假设，焦点F到准线的距离为常数p，满足p>0，求抛物线的方程. 有学生认为，可以将焦点F作为原点，将抛物线的对称轴作为坐标轴来设定坐标系;有学生认为，可以将焦点F向直线引垂线，垂足为k，以k为原点设定坐标系;有学生认为，可以通过焦点F向直线作垂线，垂足为K，以FK的中点为原点设定坐标系. 对照三位学生的不同建系方法，哪个更恰当或者更好呢？对于建立平面直角坐标系，方法很多，而要比较最佳的建系方法，需要考虑哪些条件或因素？有学生结合二次函数的图像特点，认为可以将抛物线的对称轴作为坐标系，且满足顶点为原点时，方程会更简洁. 比较抛物线方程的形式，从不同的建系方法中，选择最恰当的. 利用对二次函数图像的对比与分析，让学生认识到抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为原点，所得到的方程解析式最简洁.

根据上述建系要求，我们可以得到抛物线的方程为y2=2px（p>0）. 请同学们思考，在学习椭圆、双曲线标准方程时，针对坐标系不同时，所得到的标准方程也有不同的形式. 与此类比，对抛物线的标准方程，都有哪些不同形式？有学生认为，根据抛物线标准方程y2=2px（p>0），可以从抛物线的开口方向分为四种情况，如开口向上、开口向下、开口向左、开口向右. 既然可以得到四种不同情况，则分别列出其他三种情况的抛物线标准方程. 有学生认为，开口向左，抛物线方程为y2=-2px（p>0）;开口向下，抛物线方程为x2=-2py（p>0）;开口向上，抛物线方程为x2=2py（p>0）. 如何来分析开口不同时，对应的抛物线方程表达形式的变化？有学生从前面所学的知识入手，对于开口向左的抛物线方程，应该与开口向右的抛物线方程关于y轴对称;同样，对于开口向下的抛物线方程与开口向上的抛物线方程关于x轴对称. 由图形的对称性，来得到四种开口方向不同的抛物线标准方程的表示形式. 当然，对于不同标准方程的表示形式，我们也可以设定顺口溜“一次项定轴，正负看开口”. 针对标准方程中的参数p，有何几何意义？在四种不同方程形式中，意义是否一样？有学生提出，对于p的几何意义，主要是抛物线的焦点，到准线的距离，不同形式的抛物线标准方程中，p的幾何意义是一致的.

学生对概念的学习常常需要自己的观察、感知、体验、抽象和概括. 在探究抛物线标准方程的开口方向与表示形式对应关系上，应该注意这一点然后去突破教学难点，我们通过抓住抛物线的对称轴，联系平面直角坐标系的几何特征，来指导学生根据开口方向来得出相应的标准方程.

教学反思与总结

学习了抛物线的概念及标准方程，我们通过随堂练习，来检测学生的掌握情况. 某题中，在直角坐标系中，到点（1，1）与直线x+3y=3距离相等的点的轨迹是什么？可以选择“直线”“抛物线”“圆”“双曲线”. 很多学生都会选择“抛物线”. 事实上，该题“暗藏玄机”，很多学生不假思索，掉入陷阱. 再如这题：求抛物线方程y=2x2的焦点坐标及准线方程.在求解过程中，很多学生得出的焦点坐标为准线方程为y=-，或者x=-. 反思学生之所以做错的原因，是否与课堂教学中，对抛物线的概念及标准方程的讲解不透彻有关？在进行师生交流后发现，一些学生对抛物线概念理解不准确.教师在课堂上，若以概念直接呈现方式，忽视概念的解析与生成，学生易对概念一知半解，在面对一些数学题型时，导致解题错误. 因此，数学概念的教学，不能只重结果而轻过程. 在提出抛物线概念与探究抛物线的本质的过程中，我们主张“回到定义”，带领学生探析概念的生成过程，抓住抛物线概念的基本知识，特别是在探究概念的本质特性中，应该如何厘清概念的内涵与外延，揭示概念的本质.

对照之前所学的二次函数的图像特点，以此来类比分析抛物线概念及标准方程，两者有何关联？从函数视角来分析抛物线，着重将解析式作为教学内容，体现从代数视角来分析图像的变化，并从图像的特点来探究抛物线解析式的表示形式. 进入高中数学，以解析几何视角来探究抛物线及标准方程，需要先观察图像，再分析解析式，将“形”作为因，索求与“数”对应的果. 显然，在抛物线方程讨论中，y=ax2（a≠0）可以看作是二次函数解析式，也可以看作是抛物线标准方程. 在求解切线方程问题时，可以利用导数工具来计算，还可以将直线方程与抛物线方程进行联立，利用Δ=0来求解. 从本质上看，对于曲线与方程，函数解析式与函数图像，两者具有一致性. 以y=x2为例，既让学生认识了二次函数解析式的求解方法，又从中实现与抛物线知识的有效衔接，促进了知识的连贯性，为发展学生逻辑推理素养奠定了基础.