探讨解析几何问题，开展思路解法优化

杨永成

[摘  要] 解析几何作为高中数学的重点内容，常以压轴题的形式进行考查，而往往一道优秀的考题背后蕴含着大量的信息，包括问题的分析思路和方法、多样的优化视角，以及对思维的拓展作用. 文章以一道解析几何综合题为例，开展思路探究，解法优化，提出相应的学习建议.

[关键词] 解析几何;多解;最值;面积;多解;思考

走进考题

例题：已知椭圆C的解析式为+=1，与直线l的交点分别为P（x1，y1）和Q（x2，y2），连接OP和OQ，求得△OPQ的面积为，其中坐标原点为O，试回答下列问题.

（3）试分析在椭圆C上是否存在三点D，E和G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，请判断△DEG的形状;若不存在，请说明理由.

常规思路

本题目为解析几何综合题，主要研究直线与椭圆的位置关系，以及几何图形的面积，对学生综合运用知识的能力有着较高的要求，下面简要探究考题的常规思路.

1. 直接方程入手，常规分类讨论

第（1）问求证x+x和y+y均为定值，代数式是由交点坐标构建的，因此可以联立椭圆与直线的方程，结合△OPQ的面积来构建模型.考虑到直线l的斜率没有设定，因此需要讨论其斜率是否存在.

3. 借用（1）问结论，几何定理讨论

第（3）问分析椭圆上都否存在三点使得三角形满足面积要求，同时判断△DEG的形状，可以采用“假设—验证”的思路，假设存在这样的三点，然后利用几何定理做出判断.

假设椭圆上存在三点D（x，y），E（x，y），G（x，y）满足要求，结合（1）问的结论可解得x=x=x=，y=y=y=1，因此上述三点只可以在

，1

、

，-1

、

-，1

和

-，-1

中选取三个不同点，而这三点中两两连线必有一条经过原点，因此不可能有S△ODE=S△ODG=S△OEG=，故假设不成立，椭圆C上不存在这样的三点D，E和G.

[?]另解优化

上述是关于以椭圆为核心的解析几何问题的常规解析思路，也是学生较为熟悉的解析方法，相对而言构建思路清晰，但计算过程具有一定的难度，较为烦琐. 下面将结合问题特点来变换解析思路，采用另类解法加以探究.

1. 问题（1）的另解探究

问题（1）求证代数式为定值，采用分类讨论的方法对直线l斜率存在情形分别进行了分析，同时在化简代数式时相对较为复杂，下面考虑采用三角形面积夹角公式，同时避开分类谈论，具体过程如下.

结合相应的面积公式，可将△OPQ的面积表示为：S△OPQ=OP·OQ·sin∠POQ=··=·=·=，所以（x1y2-x2y1）2=6，即xy+xy=6+2xx·yy. 又知2x+3y=6，2x+3y=6，從而有（2x+3y）·（2x+3y）=36，所以（2x-6）（2x-6）=4xx，整理可得x+x=3，结合2（x+x）+3（y+y）=12可得y+y=2.

求证代数式的关键就是对三角形面积模型的处理，上述采用了线段夹角模型，从而避免了不必要的直线斜率存在性的讨论. 另外构建三角形面积模型时还可以采用面积割补的方式，结合坐标系中的关键点来构建.上述对（x1y2-x2y1）2=6处理时采用了众多的变形技巧，实则还可以通过三角换元的方式，这里不再赘述.

2. 问题（2）的另解探究

3. 关于问题解法的剖析

上述考题三小问分别求证代数式为定值、线段之积的最大值以及点存在性分析，是代数与几何内容的综合考查，上述简要探究了问题的常规思路和另类解法，下面进一步剖析.

第（1）问是求证代数式为定值，构建基础是直线与椭圆的交点，而核心则是三角形的面积模型. 两种解法分别以直线斜率的存在性和三角形的线段夹角模型作为切入点开展问题探究，解法均具有各自的特点，前者思路清晰，分析条理，后者则规避了讨论，可避免漏解.

第（2）问则呈现了三种解法，总体思路均是直接实现线段乘积的坐标化，在具体分析时根据具体情形进行了讨论.包括把握其中的定值来简化数式，联立方程构建数式关系，均充分利用了数式简化的方法技巧，解法具有普遍适用性，但在实际计算时需要结合条件及时化简，同时考虑参数的取值范围，确保结果可靠.

学习建议

解析几何是高中数学的重难点，处理解析几何问题中的直线与圆锥曲线的位置关系更是常考问题，掌握问题的通性通法和优化措施是十分重要的，考虑到问题的复杂性、解法的多样性、过程的繁复性，下面提出几点建议.

1. 关注题型，总结方法

解析几何的问题类型一般具有鲜明的特点，同时解题思路的程序性很强. 分析近几年的考题，可以发现综合性问题主要集中在以下几点内容：计算解析式、分析位置关系、求解弦长、研究最值、探索面积，以及论证存在性等.而对于每一类问题均具有一定的处理思路和解析策略，例如上述求证代数式为定值，通解方法就是联立曲线方程，简化数式求证;而研究最值则联合相关点坐标来构建对应函数，结合函数或不等式性质求解. 因此在复习备考过程中需要对解析几何的设问加以归纳总结，形成自我的解题思路.

2. 明确目标，逐层化简

解析几何问题的信息量一般较大，在解题时需要明确目标，结合条件来逐步化简，可以采用“读题译句，思句化简”的策略，即逐句读题，思考其中的隐含信息，结合问题目标来逐层简化. 因此读题时需要根据题设条件来解读图像，整合数形信息，实现题目中的语言互化. 而一般的解析几何问题主要研究圆锥曲线与直线的位置关系，因此可以采用如下步骤逐层剖析：

首先，联合直线与圆锥曲线方程，通过消元来整合方程，分析判别式，根据韦达定理提取关系;

然后，利用曲线交点的坐标或坐标参数来表示问题所涉关系，并结合上述提取的关系式来对其综合化简;

最后，对转化的问题进行纯代数分析，如向量问题转化为代数方程，几何线段最值转化为函数问题等，从而根据对应内容的性质来求解答案，并将答案还原到原问题中.