基于问题驱动教学模式的高等数学教学案例研究

包云霞 鲁法明 刘洪霞

【摘要】以“方向导数的计算公式”为教学案例，探讨了问题驱动式的教学方法在教学过程中的实施步骤，从而使学生成为教学过程的主体，激发其学习兴趣，提高学生学习的主动性和积极性。

【关键词】高等数学  问题驱动  教学案例  方向导数的计算公式

【基金项目】山东科技大学青年教师本科教学拔尖人才培养计划（BJRC20190503）;山东科技大学优秀教学团队建设计划资助（JXTD20160507）;山东科技大学数学分析课程教学团队建设计划资助（JXTD20180504）。

【中图分类号】G642   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）21-0081-02

一、引言

高等数学是理工类专业的重要理论基础课程，它所提供的数学思想和方法不仅是学生学习后继课程的重要工具，也是培养学生理性思辨能力和创新能力的重要途径。“方向导数”是多元函数微分学的重要的概念，是刻画多元函数变化率的重要工具，在解决许多实际问题中具有广泛应用，因此需要学生理解并熟练掌握方向导数的计算公式。

在以往的教学中，我们一般按照“回顾定义——推导公式——练习巩固”的教学方法。虽然这一教学方法也能取得不错的教学效果，但是存在着内容枯燥、脱离实际、不宜激发学生的学习兴趣等缺点。针对上述缺点，本文探讨了问题驱动式的教学方法在教学过程中的实施步骤，通过“提出问题——理论推导——实例分析——知识拓展——小结或进一步思考”等步骤实现教学过程，从而使学生成为教学过程的主体，提高学生的学习积极性和创新能力，以此推动新工科背景下大学数学的教学改革与实践。

二、教学安排

1.问题引入

案例1（图1）：毒品有害身体健康，危害社会稳定，但是每年仍然有大量的毒品交易，警察在缉毒过程中用的一个很重要的工具是警犬，那么请同学们思考警犬是如何找到毒品的呢？

答：闻气味;即沿着气味浓度增加最快的方向来寻找毒品。

案例2（图2）：炎热的夏天，一只蚂蚁不慎落入一块滚烫的石板中，为了逃命，蚂蚁该沿着什么样的方向快速逃生呢？

答：沿着温度下降最快的方向逃生。

上述两个问题中，如何找到气味浓度增加最快的方向或者温度下降最快的方向呢？

进一步引导学生思考：上节课我们学习的方向导数可以描述函数沿给定方向的变化率，气味浓度沿某方向增加或温度沿某方向下降正是浓度函数或温度函数沿给定方向的方向导数;而上述实际问题是找出方向导数取最大值或最小值的方向，从而将实际问题归结为先求浓度函数或温度函数的方向导数，再求使其方向导数取最大值或最小值的方向。

注：上述过程我们是从日常生活中警犬缉毒和蚂蚁逃生时最佳方向的选择问题入手，引出方向导数的计算问题，让学生带着问题和兴趣学习。

2.理论推导

首先，复习方向导数的定义：

指出显然可根据定义计算方向导数，但这一过程非常繁琐，由此引出推导方向导数的简便公式。

借助函数在点P0（x0，y0）可微这一桥梁，师生共同完成了利用方向导数的定义构建了方向导数的计算公式。

由计算公式可知，只需要求出函数在该点的偏导数以及所给方向对应的单位向量的两个分量，然后代入公式即可得到方向导数，从而大大简化了方向导数的计算过程，体现了数学的简洁美。

注：此处可设置互动环节，让学生思考推导过程中由f（x0，+tcosα，y0+tcosβ）-f（x0，y0）到fx（x0，y0）tcosα+fy（x0，y0）tcosβ+ο（t）转换是否始终成立？由此强调方向导数计算公式成立的条件，即函数f（x，y）在点P0（x0，y0）可微分;若条件不满足，还是利用定义计算方向导数。

3.实例分析

首先，结合一个具体实例讲解利用计算公式求方向导数值的具体步骤;

其次，以警犬缉毒过程中最佳搜索方向的确定问题为背景，由方向导数的计算公式推导方向导数取最大值的方向。

解：建立如图所示的坐标系，毒品位于原点处，现给出毒品气味浓度的等值线（图3）：

最佳搜索方向为气味浓度增加最快的方向，即为方向导数取最大值的方向，沿任意方向的方向导数为：

注：上述例1巩固了方向导数的计算公式，例2解决了本次课我们提出的问题，首尾呼应，让学生体会到了所学概念在实际问题中的应用，大大提高了学习的积极性。

4.知识拓展

首先，设置课下思考题（图4）。启发学生思考如何将例2中给定位置最佳搜索方向的求解拓展为从初始地点到毒品源之最佳搜索路线的求解问题。可做相应的提示：利用最佳搜索方向建立关于搜索路线的微分方程。

其次，设置课后练习题（图5）。要求学生课下给出蚂蚁逃生方向选择问题的求解方案。引导学生思考蚂蚁逃生问题与警犬缉毒问题对方向导数取值要求以及具体求解过程中的不同。

5.小结及作业

回顾方向导数的计算公式，强调该公式成立的前提条件;同时，指出方向导数取最大值的方向就是下次课所要学习的梯度，要求学生提前预习并查阅梯度在最优化、人工智能等领域应用的相关资料。

布置相关作业，本节课推导了二元函数的方向导数计算公式及其取得最大值的方向，那如何建立三元函数的方向导数计算公式及其取得最大值或最小值的方向呢？以此巩固学生本节课学习的知识，培养学生学习知识的迁移能力。

三、总结

在方向导数的计算公式的教学过程中，我们主要利用了生活的实际案例，采用启发式教学法引导学生发现问题、分析问题和解决问题。在这一过程中，培养了学生的抽象能力和邏辑推理能力，激发了学生学习数学的兴趣，提高了学习积极性和主动性，并留有相应的思考题和练习题让学生在课余时间通过查资料、小组讨论等方式做进一步的研究，最后以书面汇报的形式上交作业，从而巩固了本节课的知识，并为下节课的内容学习做好准备。

上述基于问题驱动式的教学方式能够让学生积极主动地分析、解决问题，从而更加深刻地理解了方向导数的概念及其实际应用，达到了教学目标。教师在讲述其他概念如曲率、各类积分的应用、微分方程及其应用时均可结合上述方法进行，全都收到了非常好的教学效果。

但是教学过程中也发现部分基础较弱、学习主动性不强的同学明显跟不上课堂的节奏，学习起来比较吃力;所以在后续的教学过程中对如何调动这一部分同学学习的积极性，如何更好地进行分层教学将作进一步的探讨。

参考文献：

[1]杨宪立，赵自强.问题驱动原则在高等数学教学中的运用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2014（1）：49-52.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]陈佩树.“问题驱动”在高等数学教学中的应用探讨[J].赤峰学院学报，2017（2）：188-190.

[4]姜启源.一项成功的高等教育改革实践：数学建模教学与竞赛活动的探索与实践[J].中国高教研究，2011（12）：79-83.

[5]周明儒.谈谈如何搞好课堂教学[J].中国大学数学，2007（3）：50-52.

[6]张玉灵，冯改红.在高等数学中尝试“问题驱动”教学模式[J].成都师范学院学报，2013（3）：110-111.

作者简介：

包云霞（1979年3月-），女，汉族，山东省海阳市人，硕士研究生，讲师，研究方向：贝叶斯统计。