基于多目标决策的轨道控制网网形设计

宋占峰，杨 飞，李 军

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

根据有砟铁路轨道精调和养护的要求，TB 10101—2018《铁路工程测量规范》增加了新建有砟轨道铁路CPⅢ控制网采用自由测站方式测设的技术标准：对于设计速度160～200 km/h之间的有砟铁路，CPⅢ网形为50～70 m一对点的边角交会网，点位中误差在3 mm内，相邻点的相对点位中误差在1.5 mm内[1]。

我国速度120 km/m以上铁路既有线里程已超过2万km。在长期运营中，既有线轨道的几何形状、空间位置不断发生改变，造成的轨道不平顺会影响列车的运行舒适度和安全性。因此，建立既有线轨道CPⅢ网，是既有铁路轨道精调和养护的迫切需求。

既有线上建立轨道CPⅢ网，不同于新建铁路：(1)天窗时间短，干扰大；(2)经费有限。因此，需要设计适合既有线的轨道CPⅢ网形。控制网设计中，网形的设计称为一类设计问题[2-3]。控制网设计质量的优劣取决于精度、可靠性和建网费用三个方面[4]。将既有线两侧的接触网支柱作为固定桩，布设控制点，可以减少建设费用。新建有砟轨道铁路CPⅢ网沿用了高速铁路无砟轨道的两种CPⅢ网形，只是精度指标有所放宽。为了降低建网费用，通过改变设站间距和观测方案，在前面两种交会网基础上，设计了两种新的CPⅢ交会网。通过计算分析，这四种方案都可以达到新规范对精度的要求。为了进一步优选既有线CPⅢ网形方案，考虑精度、可靠性及建网费用等指标，基于多目标决策方法，得到最优设计方案。最后通过敏感性分析验证了权重被修正时所选最优方案的稳定性。

1 多目标决策分析

多目标决策是基于确定的决策指标集合Z={Z1, …,Zn}，在方案集合F={F1, …,Fm}中选出最优方案。不同指标的权重不同，但应满足

( 1 )

式中：wj为第j个指标的权重。

多目标决策中的主要结构为决策矩阵D，包含方案比较的定量数据

( 2 )

矩阵D中的行表示每个指标不同方案的数据，可确定该指标下的最优方案；列表示每个方案在不同指标下的数据。

方案的重要度可通过合成权重表示

( 3 )

式中：Pi为第i个方案的合成权重；pij为第i个方案在第j个指标上的权重。

多目标决策方法有AHP法[5]和TOPSIS法[6]等, 其确定权重的方法不同。最常用的是AHP法，即层次分析法，最早由Saaty提出[7]，构建一个n维判断矩阵确定指标权重wj；构建n个m维判断矩阵确定权重pij。判断矩阵是根据决策矩阵中各指标的两两重要程度得到的，判断矩阵中的元素aij表示要素i与要素j相对重要度之比，aij越大，则要素i相对要素j的重要度就越高。对于一个多目标的决策问题，用n维判断矩阵A表示n个指标对目标层的重要程度，用m维判断矩阵Bi表示对于第i个特定指标m个待选方案的优劣程度。判断矩阵还需要进行一致性检验，具体方法参见文献[8]，此处不再赘述。

敏感性分析的目的，是验证指标权重变化时方案重要度的稳定性[9]。修正权重可以由式( 4 )获得。对于先修正指标，有

(4a)

对于后修正指标，有

(4b)

式中：wj为先修正指标的原权重；wh为后修正指标的原权重；β为修正因子，且β≥-1；(1+β)为先修正指标的修正系数；α为后修正指标的修正系数

( 5 )

2 网形设计质量准则

网形设计质量的优劣可由精度、可靠性及费用这三类定量的指标表征。CPⅢ控制网中的方向及边长观测量可通过线性化表示为观测方程

( 6 )

基于最小二乘原理，要求vTPv最小，可得出x的最小二乘估值为

( 7 )

( 8 )

绝对及相对点位精度可由坐标的协方差阵计算获得，在确定观测值的先验精度后，点位精度取决于网形[10]。

多目标决策中，选择的前4个指标与精度相关，分别是：

Z1——绝对点位中误差最大值；

Z2——绝对点位中误差低于阈值(按规范[1]取3.0 mm)的比例；

Z3——相对点位中误差最大值；

Z4——相对点位中误差低于阈值(按规范[1]取1.5 mm)的比例。

控制网中存在两类不同的观测值，通常按先验定权法确定方向和距离两类观测量的权比关系[11]，定权公式为

( 9 )

式中：单位权中误差σ0取为方向先验中误差σL；σS为距离先验中误差；a和b分别为光电测距固定误差和比例误差；s为测量距离。

规范要求CPⅢ网要使用方向标称精度不低于1″、测距标称精度不低于1 mm+2 mm/km×s的全站仪，测两测回[1]。则在分析网形质量时，采用的先验指标为:σ0=σL=±0.71″，a=0.71 mm，b=1.41 mm/km。

控制网的可靠性是指控制网检测粗差和抵抗残存粗差的能力，取决于多余观测数，反映在观测值的多余观测分量上[12]。可靠性矩阵R为

R=I-B(BTPB)-1BTP

(10)

式中：I为单位矩阵。

由此可见，可靠性矩阵R同样取决于系数矩阵B和权阵P，与实际观测值无关。在先验定权的情况下，矩阵R取决于控制网网形结构。

可靠性矩阵R的迹为

(11)

式中：n为观测值数目；t为参数的个数；rii为第i个观测值对应的可靠性分量。

(12)

每个观测值的可靠性分量rii在0～1之间。在极端情况下，如rii=0，则该观测值的粗差无论多大，都不能被发现。所以好的网形要使可靠性分量大于某一阈值的比例尽可能大，本文将可靠性分量的阈值取为0.2。

因此，多目标决策中关于可靠性的指标有两个：

Z5——整体可靠性；

Z6——可靠性分量高于阈值的比例。

建网费用可分为交通费、人员费用、时间成本等等，难以精确量化。但是，一般而言，总的权重越小，建网费用就越低。总的权重越小，意味着观测数越少，相应时间、人员及交通费用都会减少。因此，可以用观测值权之和来表征建网费用指标[15]。

(13)

式中：pii为对应第i个观测值的权重。

多目标决策中关于费用的指标为：

Z7——观测权总和。

3 CPⅢ控制网网形布设方案

设计的既有线CPⅢ控制网的四种网形方案如下：

(1)间隔1对横向点的观测网形方案F1：这种网形在高速铁路CPⅢ控制网中采用，网形见图1(a)。相邻测站间有一对横向固定桩控制点，测站间距为60 m，控制点纵向间距为60 m，横向间距为10 m。每个测站观测4对控制点，相邻两个测站重复观测 3对控制点，每个控制点被观测4次，最长观测距离90 m。

(2)间隔2对横向点的观测网形方案F2：这种网形也在高速铁路CPⅢ控制网中采用，网形见图1(b)。相邻测站间有两对横向固定桩控制点，测站间距为120 m，控制点纵向间距为60 m，横向间距为10 m。每个测站观测6对控制点，相邻两个测站重复观测 4对控制点，每个控制点被观测3次，最长观测距离为150 m。

(3)间隔3对横向点的观测网形方案F3：网形见图1(c)。相邻测站间有三对横向固定桩控制点，测站间距180 m，控制点纵向间距为60 m，横向间距10 m。每个测站观测7对控制点，里程减小方向观测3对控制点，里程增大方向观测4对控制点，相邻两个测站重复观测4对控制点，每个控制点被两个或三个连续测站观测，最长观测距离为210 m。

(4)间隔2对斜向点的观测网形方案F4：网形见图1(d)，相邻测站间有2对斜向固定桩控制点，测站间距240 m，控制点纵向间距为120 m，横向间距为10 m。每个测站观测5对控制点，每个控制点被两个或三个连续测站观测，最长观测距离为270 m。

图1 既有线CPⅢ控制网网形方案

4 模拟计算与分析

以2 km测段为试验段，计算得到四种网形的精度指标、可靠性指标和费用指标。

4.1 绝对点位精度

四种网形的绝对点位精度随里程变化规律见图2。从图2可知：

(1)距已知点越远，控制点的绝对点位精度越低，最弱点出现在相邻已知点中间位置；

(2)四种网形的绝对点位精度均小于3 mm；

(3)仅比较绝对点位精度指标，最优网形为间隔2对横向点的观测网形F2，其最大点位中误差为1.13 mm。

图2 四种网形的绝对点位中误差

4.2 相对点位精度

对于前三种观测网形，相邻点位主要有三种类型：横向10 m、纵向60 m和斜向61 m。而对于间隔2对斜向点的观测网形方案F4，相邻点位有纵向120 m、斜向61 m两种类型。四种类型相邻点的相对点位中误差见图3。

由图3可知：

图3 四种网形的相对点位中误差

(1)测站间距越大，相邻点相对点位精度越低；

(2)四种网形的相对点位精度均小于1.5 mm；

(3)仅比较相对点位中误差指标，最优网形为间隔1对横向点的观测网形F1。

4.3 可靠性指标

网形的可靠性指标如表1所示。由表1可知：四种网形的整体可靠性均大于0.4；仅比较可靠性指标，间隔1对横向点的观测网形F1明显优于其他网形。

表1 四种网形的可靠性指标

4.4 费用指标

费用指标是既有线控制网建设时应考虑的重要指标。四种网形的工作量及观测权总和如表2所示。

表2 四种网形建网费用指标

从表2可以看到，观测权总和随着工作量的增加也相应增大，说明观测权总和可以较好地表征费用。表2说明间隔2对斜向点的观测网形F4的费用指标优于其他网形。

5 基于多目标决策的方案优选

不同指标确定的最优方案不同，因此需要基于多目标决策确定最优方案。

既有线CPⅢ网形方案优选的决策矩阵通过模拟计算得到，结果如表3所示。

表3 CPⅢ网形方案优选决策矩阵

通过判断矩阵来确定指标权重。建立7维的判断矩阵，计算7个指标的权重，结果如表4第1行所示。指标Z2和Z4具有最大权重0.332。基于决策矩阵，建立4维判断矩阵，计算4个方案在每项指标上的权重。例如对于Z7指标，基于表3最后一行的数据，建立判断矩阵确定四个方案在该指标上的权重，结果如表4的Z7列。

表4 四个方案重要度计算

由式( 3 )可计算出四个方案的重要度，列于表4最后一列，确定综合最优方案次序为F4、F1、F3、F2。

选取不同的修正系数和先修正指标，按式( 4 )和式( 5 )可计算28组权重方案(表5)。对于每一组权重方案，按照同样的方法计算网形方案排序，列于表6。结果表明，只有5种权重方案的排序结果与原结果不一致，且除权重方案7d外(费用权重仅为8.9%)，所有权重方案下得到的最优方案均为间隔2对斜向点的观测网形方案F4。敏感性分析验证了方案F4作为综合最优既有线轨道控制网的稳定性。

6 结论

本文针对既有线轨道精调和养护要求，分析比较了四种轨道控制网网形方案，从精度、可靠性和费用三方面提出了七项评价控制网质量的指标，通过2 km测段的模拟算例，定量计算出了四种控制网的七项指标，得到以下结论：

(1)距已知点越远，控制点的绝对点位精度越低；测站间距越大，相邻点相对点位精度越低；四种网形方案在精度上均可满足绝对点位精度在3 mm内，相邻点的相对点位精度在1.5 mm内的规范要求。

(2)仅就单项指标而言，会得到不同的最优网形；通过多目标决策分析，确定了综合最优的间隔2对斜向点的观测网形方案F4，该方案建网费用最低。

(3)通过敏感性分析验算了28组权重方案，验证了观测网形方案F4作为综合最优方案的稳定性，其适合在既有线轨道控制建网中推广使用。

表5 修正权重

表6 不同权重方案下的网形方案排序